2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.2 用二分法求方程的近似解

-1-4．5.2用二分法求方程的近似解考点学习目标核心素养二分法的概念通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法数学抽象求方程的近似解会用二分法求一个函数在给定区间内的零点近似值，从而求得方程的近似解数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P144－P146，并思考以下问题：(1)二分法的概念是什么？(2)用二分法求函数零点近似值的步骤是什么？1．二分法条件(1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断．(2)在区间端点的函数值满足f(a)f(b)0方法不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值■名师点拨二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．二分法求函数零点近似值的步骤判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)-2-(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．()(2)精确度ε就是近似值．()(3)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．()答案：(1)×(2)×(3)√观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()答案：A用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以选取的初始区间是()A．[－2，1]B．[－1，0]C．[0，1]D．[1，2]答案：A用二分法研究函数f(x)＝x3＋lnx＋12的零点时，第一次经计算f(0)0，f120，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．答案：0，12f14二分法的概念(1)下列函数中不能用二分法求零点的是()A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x|D．f(x)＝lnx(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1，3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．【解析】(1)对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点．(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－20，f(3)＝100，f(2)＝30，f(x)零点所在的区间为(1，2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2)．-3-【答案】(1)C(2)(1，2)运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．1．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是()A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解解析：选D.由二分法求解函数零点的过程可知，选项D正确．2．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A．x1B．x2C．x3D．x4解析：选C.由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，即存在区间[a，b]，使得f(a)·f(b)0，故x1，x2，x4可以用二分法求解，但x3∈[a，b]时均有f(a)·f(b)≥0，故不可以用二分法求该零点．求方程的近似解用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．【解】令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0，1)内有解．取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，又f(1)＞0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解．-4-如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)fa＋b2(0，1)0.5f(0)＜0f(1)＞0f(0.5)＜0(0.5，1)0.75f(0.5)＜0f(1)＞0f(0.75)＞0(0.5，0.75)0.625f(0.5)＜0f(0.75)＞0f(0.625)＜0(0.625，0.75)0.6875f(0.625)＜0f(0.75)＞0f(0.6875)＜0由于|0.6875－0.75|＝0.0625＜0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解可取为0.6875.(变条件)若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”，结论又如何？解：在本例的基础上，取区间(0.6875，0.75)的中点x＝0.71875，因为f(0.71875)＜0，f(0.75)＞0且|0.71875－0.75|＝0.03125＜0.05，所以0.71875可作为方程的一个近似解．利用二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．求函数f(x)＝x2－5的负零点(精确度0.1)．解：由于f(－2)＝－1＜0，f(－3)＝4＞0，故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值(－3，－2)－2.51.25(－2.5，－2)－2.250.0625(－2.25，－2)－2.125－0.4844(－2.25，－2.125)－2.1875－0.2148(－2.25，－2.1875)－2.21875－0.0771由于|－2.25－(－2.1875)|＝0.0625＜0.1，所以函数的一个近似负零点可取－2.25.-5--6-1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关解析：选B.由二分法的概念及求解过程可知ε越大，零点的精确度越低，ε越小，零点的精确度越高．2．在用“二分法”求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1，4]B．[－2，1]C.－2，52D.－12，1解析：选D.因为第一次所取的区间是[－2，4]，所以第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，所以第三次所取的区间可能为－2，－12，－12，1，1，52，52，4.3．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)f(b)0，f(a)fa＋b20，则()A．f(x)在a，a＋b2上有零点B．f(x)在a＋b2，b上有零点C．f(x)在a，a＋b2上无零点D．f(x)在a＋b2，b上无零点解析：选B.由f(a)f(b)0，f(a)fa＋b20可知fa＋b2f(b)0，根据零点存在性定理可知f(x)在a＋b2，b上有零点．4．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()A．0.6B．0.75-7-C．0.7D．0.8解析：选C.已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]．又0.68＝0.64＋0.722，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]上，因为|0.68－0.72|＝0.04＜0.1，因此所求函数的一个正实数零点的近似值约为0.7，故选C.[A基础达标]1．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为()A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)解析：选C.f(－1)＝－520，f(0)＝－20，f(1)＝－10，f(2)＝10，f(3)＝50，则f(1)·f(2)0，即初始区间可选(1，2)．2．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)0，取区间(2，4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)0，则此时零点x0所在的区间是()A．(2，4)B．(2，3)C．(3，4)D．无法确定解析：选B.因为f(2)·f(4)0，f(2)·f(3)0，所以f(3)·f(4)0，所以x0∈(2，3)．3．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)0，f(1.25)0，f(1.5)0，f(1.75)0，则该方程的根所在的区间是()A．(1，1.25)B．(1.25，1.5)C．(1.5，1.75)D．(1.75，2)解析：选B.由f(1.25)0，f(1.5)0得f(1.25)·f(1.5)0，易知函数f(x)的图象是连续不断的，根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，故选B.4．用二分法逐次计算函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值时，参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.4375)≈0.162，f(1.40625)≈－0.054，那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为()A．1.5B．1.25C．1.375D．1.4375解析：选D.由参考数据知，f(1.40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162，则f(1.406-8-25)·f(1.4375)0，且|1.4375－1.40625|＝0.031250.04，所以方程的一个近似解可取为1.4375，故选D.5．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.答案：a2＝4b6．在用二分法求方程f(x)＝0在[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)0，f(0.75)0，f(0.6875)0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．解析：因为|0.75－0.625|＝0.1250.1，|0.75－0.6875|＝0.06250.1，方程的近似解可以是0.75.答案：0.757．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.8125)．答案：1.5，1.75，1.875，1.81258．已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10km长的线路，每隔50m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？解：如图，可首先从中点C开始检查，若AC段正常，则故障在BC段；再到BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；再到BD段中点E检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路