2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.1.2 弧度制教师用书 新人教A版必修第

-1-5．1.2弧度制考点学习目标核心素养弧度制、角度制与弧度制的换算了解弧度制的概念能进行角度与弧度之间的互化数学抽象、数学运算用弧度制表示终边相同的角能用弧度制表示终边相同的角数学运算扇形的弧长与面积公式理解弧度制下扇形的弧长与面积公式数学运算问题导学预习教材P172－P175，并思考以下问题：1．1弧度的角是如何定义的？2．如何进行弧度与角度的换算？3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？1．度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角1度的角等于周角的1360，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad(rad可省略不写)■名师点拨(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3.5rad可写成α＝－3.5.而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略.(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．2．弧度数的计算与互化(1)弧度数的计算-2-(2)弧度与角度的互化3．弧度制下扇形的弧长与面积公式(r是扇形所在圆的半径，n为扇形的圆心角)公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制l＝nπr180S＝nπr2360弧度制l＝|α|·r(0＜|α|＜2π)S＝12lr＝12|α|r2(0＜|α|＜2π)■名师点拨(1)在应用扇形面积公式S＝12|α|r2时，要注意α的单位是“弧度”．(2)由α，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1rad的角比1°的角要大．()(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．()(3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．()(4)1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12π.()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√8π5弧度化为角度是()A．278°B．280°C．288°D．318°答案：C半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是()-3-A.4π3B．πC.2π3D.π3答案：C(1)18°＝________rad；(2)310π＝________．答案：(1)π10(2)54°角度制与弧度制的互化将下列角度与弧度进行互化：(1)37°30′；(2)－216°；(3)7π12；(4)－11π5.【解】(1)37°30′＝37.5°＝752°＝752×π180＝5π24.(2)－216°＝－216×π180＝－6π5.(3)7π12＝7π12×180π°＝712×180°＝105°.(4)－115π＝－115π×180π°＝－396°.角度制与弧度制的互化原则(1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝π180rad和1rad＝180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝α·180π°；n°＝n·π180rad.1．把下列角度化为弧度．(1)－1500°＝________．(2)67°30′＝________．解析：(1)－1500°＝－1500×π180＝－253π.-4-(2)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝3π8.答案：(1)－25π3(2)3π82．把下列弧度化为角度．(1)23π6＝________．(2)－13π6＝________．解析：(1)23π6＝23π6×180π°＝690°.(2)－13π6＝－13π6×180π°＝－390°.答案：(1)690°(2)－390°用弧度制表示终边相同的角把－1480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α2π，并判断它是第几象限角？【解】－1480°＝－1480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π92π，因为16π9是第四象限角，所以－1480°是第四象限角．(变问法)若本例的条件不变，在[－4π，4π)范围内找出与α终边相同的角的集合．解：与α终边相同的角为2kπ＋169π(k∈Z)．由－4π≤2kπ＋169π4π知k＝－2，－1，0，1.所以所求角的集合为－209π，－29π，169π，349π.用弧度制表示终边相同角的两个关注点(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍．(2)注意角度制与弧度制不能混用．-5-1．若角θ的终边与8π5角的终边相同，则在[0，2π]内终边与角θ4的终边相同的角是____________．解析：因为θ＝8π5＋2kπ，k∈Z，所以θ4＝2π5＋kπ2，k∈Z.当k＝0，1，2，3时，θ4＝2π5，9π10，7π5，19π10且θ4∈[0，2π]．答案：2π5，9π10，7π5，19π102．如图所示：(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合．(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．解：(1)终边在OA上的角的集合为α|α＝3π4＋2kπ，k∈Z.终边在OB上的角的集合为β|β＝－π6＋2kπ，k∈Z.(2)α|－π6＋2kπ≤α≤3π4＋2kπ，k∈Z.扇形的弧长与面积的计算(1)已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则此扇形的面积为________cm2.(2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数．【解】(1)设扇形的弧长为l，因为120°＝120×π180rad＝2π3(rad)，所以l＝αR＝2π3×3＝23π3(cm)．所以S＝12lR＝12×23π3×3＝π(cm2)．故填π.(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为R，依题意有l＋2R＝10，①12lR＝4.②①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.当R＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8rad＞2πrad舍去．当R＝4时，l＝2(cm)，此时，-6-θ＝24＝12(rad)．综上可知，扇形圆心角的弧度数为12rad.扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝12lR＝12αR2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用扇形弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解．1．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则该扇形的周长为________cm.解析：因为1°＝π180rad，所以54°＝π180×54＝3π10，则扇形的弧长l＝3π10×20＝6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm.答案：(40＋6π)2．已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，所以l＝40－2r，所以S＝12lr＝12×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100.所以当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，这时θ＝lr＝40－2×1010＝2rad.1．与60°终边相同的角可表示为()A．k·360°＋π3(k∈Z)B．2kπ＋60°(k∈Z)C．2k·360°＋60°(k∈Z)-7-D．2kπ＋π3(k∈Z)解析：选D.选项A，B中角度的表示混合用到了角度制和弧度制，不符合要求；选项C错误，故选D.2．1920°的角化为弧度数为()A.163B.323C.163πD.323π解析：选D.因为1°＝π180rad，所以1920°＝1920×π180rad＝323πrad.3．在半径为8cm的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为()A.403πcmB.203πcmC.2003πcmD.4003πcm解析：选A.根据弧长公式，得l＝5π3×8＝40π3(cm)．4．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．(1)－1725°；(2)64π3.解：(1)因为－1725°＝－5×360°＋75°，所以－1725°＝－10π＋5π12.所以－1725°角与5π12角的终边相同．又因为5π12是第一象限角，所以－1725°是第一象限角．(2)因为64π3＝20π＋4π3，所以64π3角与4π3角的终边相同．又因为4π3是第三象限角，所以64π3是第三象限角．[A基础达标]1.3π4对应的角度为()A．75°B．125°-8-C．135°D．155°解析：选C.由于1rad＝180π°，所以3π4＝34π×180π°＝135°，故选C.2．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为()A.ββ＝－5π6＋2kπ，k∈ZB.ββ＝5π6＋k·360°，k∈ZC.ββ＝2π3＋2kπ，k∈ZD.ββ＝5π6＋2kπ，k∈Z解析：选D.150°＝150×π180＝5π6，故与150°角终边相同的角的集合为ββ＝5π6＋2kπ，k∈Z.3．(2019·广西贺州期末)角29π12的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A.因为29π12＝2π＋5π12，角5π12是第一象限角，所以角29π12的终边所在的象限是第一象限．4．钟表的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为()A.143πB．－143πC.718πD．－718π解析：选B.分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为()A.π2B.π3-9-C.2D.3解析：选C.设圆内接正方形的边长为a，则该圆的直径为2a，所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角α＝lr＝a22a＝2，故选C.6．用弧度制表示终边落在x轴上方的角α的集合为________．解析：若角α的终边落在x轴上方，则2kπ＜α＜2kπ＋π(k∈Z)．答案：{α|2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z}7．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角α是________弧度，扇形面积S是________．解析：|α|＝lr＝128＝32rad，S＝12lr＝12×12×8＝48.答案：32488．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的____________．解析：设原来圆的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为α(0α2π)，则现在的圆的半径为3r，弧长为l，设弧所对的圆心角为β(0β2π)，于是l＝αr＝β·3r，所以β＝13α.答案：139．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解：设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α.则2r＋l＝4.根据扇形面积公式S＝12lr，得1＝12lr.联立2r＋l＝4，12lr＝1.解得r＝1，l＝2，所以α＝lr＝21＝2.故所求圆心角的弧度数为2.10．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β2π)的形式，并指出α是第几象限角；-10-(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈－π2，π2.解：(1)因为－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9，所以α＝14π9＋(－3)×2π.因为角α与14π9终边相同，所以角α是第四象限角．(2)因为与角α终边相同的角可写为2kπ＋14π9，k∈Z的形式，而γ与α终边相同，所以γ＝2kπ＋14π9，k∈Z.又γ∈－π2，π2，所以－π22kπ＋14π9π2，k∈Z，解得k＝－1.所以γ＝－2π＋14π9＝－4π9.[B能力提升]11．若α3＝2kπ＋π3(k∈Z)，则α2的终边在()