2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念教师用书 新人教A

-1-5．2.1三角函数的概念考点学习目标核心素养三角函数的概念理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值数学抽象、数学运算三角函数值的符号判断掌握各象限角的三角函数值的符号规律逻辑推理诱导公式一及应用掌握三角函数诱导公式一的简单应用逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P177－P181，并思考以下问题：1．任意角的三角函数的定义是什么？2．如何判断三角函数值在各象限内的符号？3．诱导公式一是什么？1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝y余弦横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝x正切比值yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝yx(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数-2-■名师点拨(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．(2)要明确sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式(公式一)：sin(α＋k·2π)＝sin__α，cos(α＋k·2π)＝cos__α，tan(α＋k·2π)＝tan__α，其中k∈Z.■名师点拨(1)公式一的实质公式一的实质是终边相同的角，其同名三角函数值相等．因为这些角的终边是同一条射线，所以根据三角函数的定义可知，这些角的三角函数值相等．(2)公式一的作用利用公式一可以把任意角的三角函数值化为0°～360°范围内与其终边相同的角的三角函数值(方法是先在0°～360°的范围内找出与所给角终边相同的角，再把它写成公式一的形式，最后得出结果)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知α是三角形的内角，则必有sinα0，cosα≥0.()(2)若sinα·cosα0，则角α为第一象限角．()(3)对于任意角α，三角函数sinα、cosα、tanα都有意义．()-3-(4)三角函数值的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关．()(5)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√已知sinα＝35，cosα＝－45，则角α所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B已知角α的终边经过P(－b，4)，且cosα＝－35，则b的值为()A．3B．－3C．±3D．5解析：选A.由x＝－b，y＝4，得r＝b2＋16，所以cosα＝－bb2＋16＝－35，解得b＝3(b＝－3舍去)．sin780°＝________．cos9π4＝________．答案：3222求任意角的三角函数值(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P35，y(y0)，求tanα的值．(2)已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sinα，cosα的值．【解】(1)因为点P35，y(y0)在单位圆上，则925＋y2＝1，所以y＝－45，所以tanα＝－43.(2)设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x，y)，则y＝2x，x2＋y2＝1，x≥0，解得x＝55，y＝255，-4-即P55，255，所以sinα＝y＝255，cosα＝x＝55.1．(变条件)本例(2)中条件“角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”变为“角α的终边为射线y＝－34x(x≥0)”，求角α的正弦、余弦和正切值．解：由y＝－34x，x2＋y2＝1，得x2＋916x2＝1，即25x2＝16，即x＝45或x＝－45.因为x≥0，所以x＝45，从而y＝－35.所以角α的终边与单位圆的交点坐标为(45，－35)．所以sinα＝y＝－35，cosα＝x＝45，tanα＝yx＝－34.2．(变条件)本例(2)中条件“α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”变为“α的终边落在直线y＝2x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：(1)若α终边在第一象限内，解答过程同本例(2)．(2)若α终边在第三象限内，设点P(x，2x)(x＜0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝x2＋4x2＝－5x(x＜0)，所以sinα＝yr＝2x－5x＝－255，cosα＝xr＝x－5x＝－55.综上可知，sinα＝±255，cosα＝±55.已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)，则sinα＝yr，cosα-5-＝xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为23，则tanα＝________．解析：设点A的横坐标为x，则由x2＋49＝1，解得x＝±53，因为角α为第二象限角，所以x＝－53，cosα＝－53，所以tanα＝23－53＝－255.答案：－255三角函数值符号的判定判断下列各式的符号：(1)tan120°sin269°；(2)cos4tan－23π4.【解】(1)因为120°角是第二象限角，所以tan120°0.因为269°角是第三象限角，所以sin269°0.所以tan120°sin269°0.(2)因为π43π2，所以4弧度角是第三象限角，所以cos40，因为－23π4＝－6π＋π4，所以－23π4是第一象限角，-6-所以tan－23π40，所以cos4tan－23π40.正弦、余弦函数值的正负规律1．若－π2＜α＜0，则点(tanα，cosα)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B.由－π2＜α＜0知α为第四象限角，则tanα＜0，cosα＞0，点在第二象限．2．(2019·安徽太和中学第一次教学质量检测)已知sinθcosθ0，且|cosθ|＝cosθ，则角θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选D.由|cosθ|＝cosθ，可知cosθ≥0，结合sinθcosθ0，得sinθ0，cosθ0，所以角θ是第四象限角，故选D.公式一的简单应用求下列各式的值：(1)cos25π3＋tan－15π4；(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.【解】(1)原式＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4-7-＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52.利用公式一求解任意角的三角函数的步骤1．sin585°的值为()A．－22B.22C．－32D.32解析：选A.sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°.由于225°是第三象限角，且终边与单位圆的交点为－22，－22，所以sin225°＝－22.2．tan－23π6的值为()A.3B.33C.32D．1解析：选B.tan－23π6＝tan－4π＋π6＝tanπ6＝33.3．sin－11π6＋cos12π5·tan4π＝________．-8-解析：原式＝sin－2π＋π6＋cos2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sinπ6＋cos2π5×0＝12.答案：121．若角α是第三象限角，则点P(2，sinα)所在象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D.由α是第三象限角知，sinα0，因此P(2，sinα)在第四象限，故选D.2．若cosα＝－32，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是()A．23B．±23C．－22D．－23解析：选D.r＝x2＋22，由题意得xx2＋22＝－32，所以x＝－23.故选D.3．cos1470°＝____________．解析：cos1470°＝cos(4×360°＋30°)＝cos30°＝32.答案：324．求下列三角函数值：(1)sin256π＋cos193π；(2)sin217π4＋tan2－11π6tan9π4.解：(1)sin256π＋cos193π＝sin4π＋π6＋cos6π＋π3＝sinπ6＋cosπ3＝12＋12＝1.(2)原式＝sin2π4＋4π＋tan2π6－2π·tanπ4＋2π＝sin2π4＋tan2π6·tanπ4-9-＝222＋332×1＝12＋13＝56.[A基础达标]1．(2019·陕西山阳中学期末考试)点A(x，y)是60°角的终边与单位圆的交点，则yx的值为()A.3B．－3C.33D．－33解析：选A.因为tan60°＝3，所以yx＝3，故选A.2．如果α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，那么sinα＝()A.12B．－12C.32D．－32解析：选D.依题意可知点(2sin30°，－2cos30°)，即(1，－3)，则r＝12＋（－3）2＝2，因此sinα＝yr＝－32.3．已知角α的终边经过点P(m，－6)，且cosα＝－45，则m＝()A．8B．－8C．4D．－4解析：选B.由题意得r＝|OP|＝m2＋（－6）2＝m2＋36，故cosα＝mm2＋36＝－45，解得m＝－8.4．给出下列函数值：①sin(－1000°)；②cos－π4；③tan2，其中符号为负的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选B.因为－1000°＝－3×360°＋80°，所以－1000°是第一象限角，则sin(－1000°)0；因为－π4是第四象限角，所以cos－π40；因为2rad≈2×57°18′＝114°36′是第二象限角，所以tan20.故符号为负的个数为1.-10-5．若tanα0，且sinαcosα，则α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B.由tanα0知，α是第二、四象限角，若α是第二象限角，则sinα0，cosα0，满足sinαcosα；若α是第四象限角，则sinα0，cosα0，不满足sinαcosα，故选B.6．计算sin(－1410°)＝________．解析：sin(－1410°)＝sin(－4×360°＋30°)＝sin30°＝12.答案：127．若sinα·cosα＜0，则α在第________象限．解析：由sinα·cosα＜0，知sinα＞0且cosα＜0或sinα＜0且cosα＞0.若sinα＞0且cosα＜0，则α在第二象限，若sinα＜0且cosα＞0，则α在第四象限．答案：二或四8．已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin(2kπ＋α)＝－35，其中k∈Z，则t的值为____________．解析：因为sin(2kπ＋α)＝－35(k∈Z)，所以sinα＝－35.又角α的终边过点P(3，－4t)，故sinα＝－4t9＋16t2＝－35，解得t＝916t＝－916舍去.答案：9169．计算：(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－