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-1-章末复习提升课指数与对数的运算求下列各式的值：(1)827－23－3e·e23＋（2－e）2＋10lg2；(2)lg25＋lg2×lg500－12lg125－log29×log32.【解】(1)827－23－3e·e23＋（2－e）2＋10lg2＝233－23－e13·e23＋(e－2)＋2＝23－2－e＋e－2＋2＝322＝94.(2)lg25＋lg2×lg500－12lg125－log29×log32-2-＝lg25＋lg2×lg5＋2lg2－lg15－log39＝lg5(lg5＋lg2)＋2lg2－lg2＋1－2＝lg5＋lg2－1＝1－1＝0.(1)指数与对数的运算应遵循的原则①指数的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．另外，若出现分式，则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的；②对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行．(2)底数相同的对数式化简的两种基本方法①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差)．1．计算：278－13＋log2(log216)＝________．解析：原式23－3×－13＋log24＝23＋2＝83.答案：832．已知2x＝3，log483＝y，则x＋2y的值为________．解析：由2x＝3，log483＝y得x＝log23，y＝log483＝12log283，所以x＋2y＝log23＋log283＝log28＝3.答案：3指数函数、对数函数的图象问题若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()-3-【解析】由题意y＝logax(a0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝13x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符．故选B.【答案】B(1)识别函数的图象从以下几个方面入手：①单调性：函数图象的变化趋势；②奇偶性：函数图象的对称性；③特殊点对应的函数值．(2)已知不能解出的方程或不等式的解求参数的范围常用数形结合的思想解决．1．已知a＞1，b＜－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D.因为a＞1，所以函数y＝loga(x－b)(b＜－1)的图象就是把函数y＝logax的图象向左平移|b|个单位长度，如图．由图可知函数y＝loga(x－b)不经过第四象限，所以选D.2．对a0且a≠1的所有正实数，函数y＝ax＋1－2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是________．解析：当x＝－1时，y＝a0－2＝－1，所以该定点的坐标是(－1，－1)．答案：(－1，－1)指数函数、对数函数的性质-4-设f(x)＝log121－axx－1为奇函数，a为常数．(1)求a的值；(2)试说明f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．【解】(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以log121＋ax－x－1＝－log121－axx－1＝log12x－11－ax.所以1＋ax－x－1＝x－11－ax，即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)，所以a＝－1(a＝1舍去)．(2)由(1)可知f(x)＝log12x＋1x－1＝log121＋2x－1(x1)，令u(x)＝1＋2x－1(x1)，对任意的1x1x2，有：u(x1)－u(x2)＝1＋2x1－1－1＋2x2－1＝2（x2－x1）（x1－1）（x2－1）.因为1x1x2，所以x1－10，x2－10，x2－x10，所以2（x2－x1）（x1－1）（x2－1）0，即u(x1)－u(x2)0.所以函数u(x)＝1＋2x－1在(1，＋∞)上是减函数．又因为函数y＝log12u在(0，＋∞)上是减函数，所以f(x)＝log12x＋1x－1在(1，＋∞)上为增函数．-5-基本初等函数单调性的判断与应用(1)对于指数函数和对数函数，注意底数a对函数单调性的影响，对于幂函数y＝xα，注意指数α对函数单调性的影响．(2)根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集．1．设函数f(x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0，2)上是增函数B．奇函数，且在(0，2)上是减函数C．偶函数，且在(0，2)上是增函数D．偶函数，且在(0，2)上是减函数解析：选A.由题意得2＋x0，2－x0，解得－2x2，所以f(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称．因为f(－x)＝ln(2－x)－ln(2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数；又y＝ln(2＋x)在(－2，2)上单调递增，y＝ln(2－x)在(－2，2)上单调递减，所以f(x)在(－2，2)上单调递增．故选A.2．若函数y＝loga(2x－1)(0＜a＜1)在区间[3，6]上有最小值为－2，则实数a的值为________．解析：因为0a1，所以函数y＝loga(2x－1)在区间[3，6]上为减函数，所以当x＝6时，y有最小值为－2，即loga11＝－2，所以a－2＝1a2＝11，解得a＝1111.答案：1111函数的应用某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：月数1234…污染度6031130…污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：-6-f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝203(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．(1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60?【解】(1)用h(x)模拟比较合理，理由如下：因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30；f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5.由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理．(2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，h(16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60.利用已知函数模型解决实际问题的方法解决已给出函数模型的实际应用题，关键要分清函数类型，并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件，然后结合所给模型，列出函数关系式；最后结合其实际意义作出解答．1．函数f(x)＝lgx与g(x)＝7－2x图象交点的横坐标所在区间是()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(1，5)解析：选C.函数h(x)＝f(x)－g(x)＝lgx－(7－2x)＝lgx＋2x－7在(0，＋∞)上单调递增，且h(3)＝lg3＋2×3－7＝lg3－10，h(4)＝lg4＋2×4－7＝lg4＋10.所以函数h(x)的零点所在区间为(3，4)，即函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标所在区间为(3，4)．故选C.2．国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t天后气球体积变为V＝ae－kt.若经过25天后，气球体积变为原来的23，则至少经过________天后，气球体积小于原来的13.(lg3≈0.477，lg2≈0.301，结果保留整数)解析：由已知“经过t天气球体积变为V＝ae－kt，经过25天后，气球体积变为原来的23”得，ae－25k＝23a⇒e－25k＝23，则－25k＝ln23，①-7-设t0天后气球体积变为原来的13，即V＝ae－kt0＝13a，即e－kt0＝13，则－kt0＝ln13，②①②两式相除可得－25k－kt0＝ln23ln13，即25t0＝ln23ln13＝lg2－lg3－lg3≈0.301－0.477－0.477≈0.369，所以t0≈68，即至少经过68天后，气球体积小于原来的13.答案：68