2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.3 诱导公式（第1课时）诱导公式二、三、

-1-第1课时诱导公式二、三、四考点学习目标核心素养诱导公式二、三、四理解诱导公式的推导方法逻辑推理诱导公式二、三、四的应用能运用公式进行三角函数式的求值、化简以及证明数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P188－P190，并思考以下问题：1．π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？2．诱导公式二、三、四的内容是什么？1．公式二终边关系图示角π＋α与角α的终边关于原点对称公式sin(π＋α)＝－sin__α，cos(π＋α)＝－cos__α，tan(π＋α)＝tan__α2.公式三终边关系图示角－α与角α的终边关于x轴对称公式sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，tan(－α)＝－tanα3．公式四终边关系图示-2-角π－α与角α的终边关于y轴对称公式sin(π－α)＝sin__α，cos(π－α)＝－cos__α，tan(π－α)＝－tan__α■名师点拨诱导公式的记忆(1)记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．(2)记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”．“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值．()(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角．()(3)由诱导公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．()(4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√下列式子中正确的是()A．sin(π－α)＝－sinαB．cos(π＋α)＝cosαC．cosα＝sinαD．sin(2π＋α)＝sinα答案：D已知tanα＝6，则tan(π－α)＝________．答案：－6cos120°＝________，sin－56π＝________．答案：－12－12-3-给角求值问题利用公式求下列三角函数值：(1)cos476π；(2)tan(－855°)；(3)sin(－945°)＋cos(－296π)；(4)tan34π＋sin116π.【解】(1)cos476π＝cos(116π＋6π)＝cos116π＝cos(2π－π6)＝cosπ6＝32.(2)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan45°＝1.(3)原式＝sin(－2×360°－225°)＋cos－4π－5π6＝sin(－225°)＋cos－5π6＝－sin(180°＋45°)＋cosπ－π6＝sin45°－cosπ6＝22－32＝2－32.(4)原式＝tan(π－π4)＋sin(2π－π6)＝－tanπ4－sinπ6＝－1－12＝－32.利用诱导公式解决给角求值的步骤-4-1．(2019·重庆一中期末检测)tan5π3＝()A．－3B.3C．－33D.33解析：选A.tan5π3＝tan(2π－π3)＝－tanπ3＝－3，故选A.2．求下列各三角函数值：(1)cos－31π6；(2)tan(－765°)；(3)sin4π3·cos25π6·tan5π4.解：(1)cos－31π6＝cos31π6＝cos4π＋7π6＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－32.(2)tan(－765°)＝－tan765°＝－tan(45°＋2×360°)＝－tan45°＝－1.(3)sin4π3·cos25π6·tan5π4＝sinπ＋π3cos4π＋π6·tanπ＋π4＝－sinπ3cosπ6tanπ4＝－32×32×1＝－34.化简求值问题化简下列各式．(1)tan（2π－α）sin（－2π－α）cos（6π－α）cos（α－π）sin（5π－α）；-5-(2)sin（1440°＋α）·cos（α－1080°）cos（－180°－α）·sin（－α－180°）.【解】(1)原式＝sin（2π－α）cos（2π－α）·sin（－α）cos（－α）cos（π－α）sin（π－α）＝－sinα（－sinα）cosαcosα（－cosα）sinα＝－sinαcosα＝－tanα.(2)原式＝sin（4×360°＋α）·cos（3×360°－α）cos（180°＋α）·[－sin（180°＋α）]＝sinα·cos（－α）（－cosα）·sinα＝cosα－cosα＝－1.三角函数式化简的常用方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4.1．化简：cos（－α）tan（7π＋α）sin（π－α）＝________.解析：cos（－α）tan（7π＋α）sin（π－α）＝cosαtan（π＋α）sinα＝cosα·tanαsinα＝sinαsinα＝1.答案：12．化简cos（π＋α）·sin（2π＋α）sin（－α－π）·cos（－π－α）＝________.解析：原式＝－cosα·sinα－sin（π＋α）·cos（π＋α）＝cosαsinαsinαcosα＝1.答案：1给值(式)求值问题-6-(1)若cos(2π－α)＝53且α∈－π2，0，则sin(π－α)＝()A．－53B．－23C．－13D．±23(2)已知cosπ6－α＝33，则cosα＋5π6＝________．【解析】(1)因为cos(2π－α)＝cosα＝53，且α∈－π2，0，所以sinα＝－1－cos2α＝－23，所以sin(π－α)＝sinα＝－23.(2)cosα＋5π6＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33.【答案】(1)B(2)－331．(变问法)若本例(2)中的条件不变，求cosα－13π6.解：cosα－13π6＝cos136π－α＝cos2π＋π6－α＝cosπ6－α＝33.2．(变问法)若本例(2)中的条件不变，求cos56π＋α－sin2α－π6的值．解：因为cos56π＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－33，sin2α－π6＝sin2－π6－α＝1－cos2π6－α＝1－332＝23，所以cos56π＋α－sin2α－π6＝－33－23＝－2＋33.-7-解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．1．若sin(π＋α)＝12，α∈π，3π2，则tan(π－α)等于()A．－12B．－32C．－3D．－33解析：选D.因为sin(π＋α)＝－sinα，根据条件得sinα＝－12，又α∈π，3π2，所以cosα＝－1－sin2α＝－32.所以tanα＝sinαcosα＝13＝33.所以tan(π－α)＝－tanα＝－33.2．已知tan(π＋α)＝3，求2cos（π－α）－3sin（π＋α）4cos（－α）＋sin（2π－α）的值．解：因为tan(π＋α)＝3，所以tanα＝3.故2cos（π－α）－3sin（π＋α）4cos（－α）＋sin（2π－α）＝－2cosα＋3sinα4cosα－sinα＝－2＋3tanα4－tanα＝－2＋3×34－3＝7.1．计算cos(－600°)＝()A.32B．－32C.12D．－12-8-解析：选D.cos(－600°)＝cos600°＝cos(360°＋240°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－12.2．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于()A．－1213B.1213C．±1213D.512解析：选A.由cos(α－π)＝－513，得cosα＝513.又α为第四象限角，所以sin(－2π＋α)＝sinα＝－1－cos2α＝－1213.3．计算tan690°＝________.解析：tan690°＝tan(2×360°－30°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－33.答案：－334．化简：sin（540°＋α）·cos（－α）tan（α－180°）.解：原式＝sin（360°＋180°＋α）·cosα－tan（180°－α）＝sin（180°＋α）·cosαtanα＝－sinα·cosαsinαcosα＝－cos2α.[A基础达标]1．(2019·安徽省安庆市期末)cos5π3的值为()A．－12B．－32C.12D.32解析：选C.cos5π3＝cos(2π－π3)＝cos(－π3)＝cosπ3＝12.-9-2．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是()A．sinα＝sinβB．sin(α－2π)＝sinβC．cosα＝cosβD．cos(2π－α)＝－cosβ解析：选C.由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cosα＝cosβ.3．sin600°＋tan(－300°)的值是()A．－32B.32C．－12＋3D.12＋3解析：选B.原式＝sin(360°＋180°＋60°)＋tan(－360°＋60°)＝－sin60°＋tan60°＝32.4．若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于()A．－23mB．－32mC.23mD.32m解析：选B.因为sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sinα＝－m，所以sinα＝m2，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－32m.故选B.5．设f(α)＝2sin（2π－α）cos（2π＋α）－cos（－α）1＋sin2α＋sin（2π＋α）－cos2（4π－α），则f－236π的值为()A.33B．－33C.3D．－3解析：选D.f(α)＝2sin（－α）cosα－cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝－cosα（2sinα＋1）sinα（2sinα＋1）＝－1tanα.所以f－236π＝－1tan－236π＝－1tanπ6＝－3.6．sin－7π3＝________．-10-解析：sin－7π3＝－sin7π3＝－sinπ＋4π3＝sin4π3＝sinπ＋π3＝－sinπ3＝－32.答案：－327．化简：cos（3π－α）sin（－π＋α）·tan(2π－α)＝________．解析：原式＝cos（π－α）－sin（π－α）·tan(－α)＝－cosα－sinα·－sinαcosα＝－1.答案：－18．当θ＝5π4时，sin[θ＋（2k＋1）π]－sin[－θ－（2k＋1）π]sin（θ＋2kπ）cos（θ－2kπ）(k∈Z)的值等于________．解析：原式＝－sinθ－sinθsinθcosθ＝－2cosθ.当θ＝5π4时，原式＝－2cos5π4＝22.答案：229．已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：sin（π－α）＋5cos（