2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.6 函数y＝Asin（ωx＋φ）（第2课

-1-第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用由图象求三角函数的解析式函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为______________．【解析】由题图得A＝2，T2＝π3－－π6＝π2，即T＝π.由ω0，T＝2πω＝π得ω＝2.又当x＝π3时，ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，即2×π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－π6(k∈Z)，又|φ|π2，所以φ＝－π6.因此f(x)＝2sin2x－π6(x∈R)．【答案】f(x)＝2sin2x－π6，x∈R根据函数的部分图象求解析式的方法(1)直接从图象确定振幅和周期，则可确定函数式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取最大值点的数据代入ωx＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，结合φ的范围求出φ.(2)通过若干特殊点代入函数式，通过解方程组求相关待定系数A，ω，φ.(3)运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝Asinωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．-2-1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A0，ω0，|φ|π2，则()A．A＝4B．ω＝1C．φ＝π6D．B＝4解析：选C.由图象可知，A＝2，14T＝5π12－π6＝π4，T＝π，ω＝2.因为2×π6＋φ＝π2，所以φ＝π6，故选C.2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，0φπ2的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差π4，且图象经过点0，52，求这个函数的解析式．解：由题意知A＝5，T2＝π4，所以T＝π2＝2πω，所以ω＝4，所以y＝5sin(4x＋φ)．又因为图象经过点0，52，所以52＝5sinφ，即sinφ＝12，所以φ＝π6＋2kπ(k∈Z)或φ＝5π6＋2kπ(k∈Z)，又因为0φπ2，所以φ＝π6，所以这个函数的解析式为y＝5sin4x＋π6.三角函数图象的对称性已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，求该函数的对称轴方程．【解】由T＝2πω＝π，解得ω＝2，-3-则f(x)＝sin2x＋π3，令2x＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ2＋π12，k∈Z，即对称轴方程为x＝kπ2＋π12，k∈Z.1．(变问法)本例中函数不变，则函数的对称中心为________．解析：令2x＋π3＝kπ，得x＝kπ2－π6(k∈Z)．所以该函数的对称中心为kπ2－π6，0，(k∈Z)．答案：kπ2－π6，0，k∈Z2．(变条件)若本例中函数变为f(x)＝cos12x＋π3，则对称轴方程为________．解析：令12x＋π3＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ－23π，k∈Z.答案：x＝2kπ－2π3，k∈Z三角函数对称轴、对称中心的求法对称轴对称中心y＝Asin(ωx＋φ)令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求对称中心横坐标y＝Acos(ωx＋φ)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，求对称中心横坐标y＝Atan(ωx＋φ)无令ωx＋φ＝kπ2(k∈Z)，求对称中心横坐标1．下列函数中，图象关于直线x＝π3对称的是()A．y＝sin2x－π3B．y＝sin2x－π6-4-C．y＝sin2x＋π6D．y＝sinx2＋π6解析：选B.当x＝π3时，仅有选项B中的函数y＝sin2x－π6取得最值，故函数y＝sin2x－π6的图象关于直线x＝π3对称．2．将函数f(x)＝2cosx＋π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是()A.π12，0B.π3，0C.5π12，0D.2π3，0解析：选D.由题意g(x)＝2cos2x＋π6，令2x＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，解得x＝π6＋kπ2，k∈Z，当k＝1时，x＝2π3，故函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是2π3，0.三角函数性质的综合应用(2019·沈阳质量检测(一))已知函数f(x)＝sin2x＋π3，以下命题中为假命题的是()A．函数f(x)的图象关于直线x＝π12对称B．x＝－π6是函数f(x)的一个零点C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin2x的图象向左平移π3个单位长度得到D．函数f(x)在0，π12上是增函数【解析】令2x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，当k＝0时，x＝π12，即函数f(x)的图象关于直线x＝π12对称，选项A正确；令2x＋π3＝kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－π6，即x＝－π6是函-5-数f(x)的一个零点，选项B正确；2x＋π3＝2x＋π6，故函数f(x)的图象可由g(x)＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度得到，选项C错误；若x∈0，π12，则2x＋π3∈π3，π2，故f(x)在0，π12上是增函数，选项D正确．故选C.【答案】C(1)正、余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±π2(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±π2(k∈Z)时为奇函数．(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)单调区间的方法采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间从而求出函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．若ω0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．1．函数f(x)＝cos(2x＋φ)|φ|π2的图象向右平移π6个单位后得到的函数是奇函数，则函数f(x)的图象()A．关于点－π3，0对称B．关于直线x＝－π6对称C．关于点π12，0对称D．关于直线x＝π12对称解析：选D.将函数f(x)＝cos(2x＋φ)|φ|π2的图象向右平移π6个单位后，可得y＝cos2x－π3＋φ的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，又|φ|π2，所以φ＝－π6，所以f(x)＝cos2x－π6.-6-令x＝－π3，求得f(x)＝cos－5π6＝－32，故排除A；令x＝－π6，求得f(x)＝cos－π2＝0，故排除B；令x＝π12，求得f(x)＝cos0＝1，为函数的最大值，排除C，选D.2．已知函数f(x)＝2sinωx－π6的最小正周期为π，则函数y＝f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值分别是()A．2和－2B．2和0C．2和－1D.32和－32解析：选C.由题知2πω＝π，得ω＝2，所以函数y＝f(x)＝2sin2x－π6.又因为x∈0，π2，所以2x－π6∈－π6，5π6，所以sin2x－π6∈－12，1，所以2sin2x－π6∈[－1，2]，故函数f(x)的最大值为2，最小值为－1.故选C.1．(2019·北京海淀北理工附中期中)将函数y＝sin2x＋π4的图象向右平移π8个单位长度，所得图象所对应的函数是()A．非奇非偶函数B．既奇又偶函数C．奇函数D．偶函数解析：选C.将函数y＝sin2x＋π4的图象向右平移π8个单位长度后，得函数y＝sin2x－π8＋π4＝sin2x，为奇函数，故选C.2．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x＝π6，则φ的值为________．解析：由题意知2×π6＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，-7-所以φ＝π6＋kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，所以φ＝－56π.答案：－56π3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，A0，|φ|π2的图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)在－π4，π6上的值域．解：(1)由图象可知A＝1，T4＝2π4ω＝7π12－π3＝π4，所以ω＝2.又由图象知2·π3＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ＝2kπ＋π3，k∈Z，又|φ|π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝sin2x＋π3.(2)当x∈－π4，π6时，2x＋π3∈－π6，2π3，所以f(x)＝sin2x＋π3∈－12，1，所以函数f(x)的值域为－12，1.[A基础达标]1．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有fπ6＋x＝fπ6－x，则有fπ6等于()A．3或0B．－3或0C．0D．－3或3解析：选D.由fπ6＋x＝fπ6－x知，直线x＝π6是函数的对称轴，解得fπ6＝3或－3.故选D.2．(2019·贵阳市第一学期检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，－π2φπ2的部分图象如图所示，则φ的值为()-8-A．－π3B.π3C．－π6D.π6解析：选B.由题意，得T2＝π3＋π6＝π2，所以T＝π，由T＝2πω，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又fπ3＝sin2π3＋φ＝0，－π2φπ2，所以φ＝π3，故选B.3．设f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的定义域为R，周期为2π3，初相为π6，值域为[－1，3]，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝2sin3x＋π6＋1B．f(x)＝2sin3x＋π6－1C．f(x)＝－2sin3x＋π6－1D．f(x)＝2sin3x－π6＋1解析：选A.因为－A＋B＝－1，A＋B＝3，所以A＝2，B＝1，因为T＝2πω＝2π3，所以ω＝3，又φ＝π6，故f(x)＝2sin3x＋π6＋1.4．若将函数y＝sin2x－π4的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数g(x)图象的一个对称中心为()A.5π12，0B.π4，0C.π6，0D.π12，0-9-解析：选A.将y＝sin2x－π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可以得到y＝sin212x－π4＝sinx－π4的图象，再向右平移π6个单位可以得到y＝sinx－π6－π4＝sinx－5π12的图象，因此，g(x)＝sinx－5π12，由g5π12＝sin0＝0，选项A正确．5．函数y＝2sin2x－π6与y轴最近的对称轴方程是________．解析：对于函数y＝2sin2x－π6，令2x－π6＝kπ＋π2(k∈Z)得，x＝kπ2＋π3，因此，当k＝－1时，得到x＝－π6，故直线x＝－π6是与y轴最近的对称轴．答案：x＝－π66．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω0)的一个周期上，当x＝π6时，有最大值2，当x＝2π3时，有最小值－2，则ω＝________．解析：依题意知T2＝2π3－π6＝π2，所以T＝π，又T＝2πω＝π，得ω＝2.答案：27．