2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第2课

-1-第2课时正、余弦函数的单调性与最值考点学习目标核心素养正、余弦函数的单调性理解正弦函数与余弦函数的单调性，会求函数的单调区间数学运算利用正、余弦函数的单调性比较大小会利用三角函数单调性比较三角函数值的大小数学运算、逻辑推理正、余弦函数的最值(值域)会利用三角函数单调性求函数的最值和值域数学运算问题导学预习教材P204－P207，并思考以下问题：1．正、余弦函数的单调区间相同吗？它们分别是什么？2．正、余弦函数的最值分别是多少？正弦、余弦函数的图象和性质正弦函数余弦函数图象值域[－1，1][－1，1]单调性增区间－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z[]π＋2kπ，2π＋2kπ，k∈Z减区间π2＋2kπ，3π2＋2kπ，k∈Z[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z最值ymax＝1x＝π2＋2kπ，k∈Zx＝2kπ，k∈Zymin＝－1x＝－π2＋2kπ，k∈Zx＝π＋2kπ，k∈Z■名师点拨-2-正、余弦函数不是定义域上的单调函数，如说“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个，在每个单调增区间上，y＝sinx都是从0增加到1，但不能看作一个单调区间．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝12sinx的最大值为1.()(2)∃x0∈[0，2π]，满足cosx0＝2.()(3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．()答案：(1)×(2)×(3)×在下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是()A．[0，π]B.π2，3π2C.－π2，π2D．[π，2π]答案：C函数y＝1－2cosπ2x的最小值、最大值分别是()A．－1，3B．－1，1C．0，3D．0，1答案：A函数y＝sinx(π3≤x≤2π3)的值域为________．答案：[32，1]函数y＝－cosx的单调递减区间是____________；单调递增区间是____________．答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)正、余弦函数的单调性-3-求下列函数的单调递减区间：(1)y＝12cos2x＋π3；(2)y＝2sinπ4－x.【解】(1)令z＝2x＋π3，而函数y＝cosz的单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．所以当原函数单调递减时，可得2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)．所以原函数的单调递减区间是kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．(2)y＝2sinπ4－x＝－2sinx－π4.令z＝x－π4，则y＝－2sinz，求y＝－2sinz的单调递减区间，即求sinz的单调递增区间．所以－π2＋2kπ≤z≤π2＋2kπ，k∈Z.即－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z.所以－π4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ，k∈Z.所以函数y＝2sinπ4－x的单调递减区间是－π4＋2kπ，3π4＋2kπ(k∈Z)．求正、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．1．函数y＝sinx＋π2，x∈R在()A.－π2，π2上是增函数-4-B．[0，π]上是减函数C．[－π，0]上是减函数D．[－π，π]上是减函数解析：选B.因为y＝sinx＋π2＝cosx，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．2．求函数y＝sinx＋π4的单调增区间．解：设x＋π4＝u，y＝|sinu|的大致图象如图所示，函数的周期是π.当u∈kπ，kπ＋π2(k∈Z)时，函数y＝|sinu|递增．函数y＝sinx＋π4的单调递增区间是kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．比较三角函数值的大小比较下列各组数的大小．(1)sin1017π与sin1117π；(2)cos－7π8与cos6π7；(3)sin194°与cos160°.【解】(1)因为函数y＝sinx在π2，π上单调递减，且π2＜1017π＜1117π＜π，所以sin1017π＞sin1117π.(2)cos－7π8＝cos7π8，因为0＜6π7＜7π8＜π，y＝cosx在(0，π)上是减函数，所以cos7π8＜cos6π7.所以cos－7π8＜cos6π7.-5-(3)由于sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°，又0°＜14°＜70°＜90°，而y＝sinx在[]0°，90°上单调递增，所以sin14°＜sin70°，－sin14°＞－sin70°，即sin194°＞cos160°.比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；(3)利用函数的单调性比较大小．1．sin470°________cos760°(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：sin470°＝sin110°＝cos20°0，cos760°＝cos40°0且cos20°cos40°，所以cos760°sin470°.答案：＞2．比较下列各组数的大小．(1)sin－376π与sin493π；(2)cos870°与sin980°.解：(1)sin－376π＝sin－6π－π6＝sin－π6，sin493π＝sin16π＋π3＝sinπ3，因为y＝sinx在－π2，π2上是增函数，所以sin－π6＜sinπ3，即sin－376π＜sin493π.(2)cos870°＝cos(720°＋150°)＝cos150°，sin980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(90°＋170°)＝cos170°，因为0°＜150°＜170°＜180°，-6-且y＝cosx在[0°，180°]上是减函数，所以cos150°＞cos170°，即cos870°＞sin980°.正、余弦函数的最值(值域)求下列函数的最值．(1)y＝3＋2cos2x＋π3；(2)y＝－sin2x＋3sinx＋54.【解】(1)因为－1≤cos2x＋π3≤1，所以当cos2x＋π3＝1时，ymax＝5；当cos2x＋π3＝－1时，ymin＝1.(2)y＝－sin2x＋3sinx＋54＝－(sinx－32)2＋2.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝32时，函数取得最大值，ymax＝2；当sinx＝－1时，函数取得最小值，ymin＝14－3.(变条件)在本例(1)中，若x∈－π6，π12，则函数y＝3＋2cos2x＋π3的最大、最小值分别是多少？解：因为x∈－π6，π12，所以0≤2x＋π3≤π2，所以0≤cos2x＋π3≤1，所以当cos2x＋π3＝1时，ymax＝5；当cos2x＋π3＝0时，ymin＝3.所以函数y＝3＋2cos2x＋π3，x∈－π6，π12的最大值为5，最小值为3.-7-三角函数最值问题的求解方法(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．1．函数y＝cos(x＋π6)，x∈[0，π2]的值域是()A．(－32，12)B．[－12，32]C．[32，1]D．[12，1]解析：选B.由0≤x≤π2，得π6≤x＋π6≤2π3，所以－12≤cos(x＋π6)≤32，故选B.2．求函数y＝cos2x＋4sinx的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．解：y＝cos2x＋4sinx＝1－sin2x＋4sinx＝－sin2x＋4sinx＋1＝－(sinx－2)2＋5.所以当sinx＝1，即x＝2kπ＋π2，k∈Z时，ymax＝4；当sinx＝－1，即x＝2kπ－π2，k∈Z时，ymin＝－4.所以ymax＝4，此时x的取值集合是x|x＝2kπ＋π2，k∈Z；ymin＝－4，此时x的取值集合是x|x＝2kπ－π2，k∈Z.1．下列函数中，在区间π2，π上恒正且是增函数的是()A．y＝sinxB．y＝cosxC．y＝－sinxD．y＝－cosx-8-解析：选D.作出四个函数的图象，知y＝sinx，y＝cosx在π2，π上单调递减，不符合；而y＝－sinx的图象虽满足在π2，π上单调递增但其值为负，所以只有D符合，故选D.2．函数y＝3cos12x－π4在x＝________时，y取最大值．解析：当函数取最大值时，12x－π4＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋π2(k∈Z)．答案：4kπ＋π2(k∈Z)3．sin21π5________sin425π(填“”或“”)．解析：sin215π＝sin(4π＋π5)＝sinπ5，sin425π＝sin(8π＋2π5)＝sin2π5.因为y＝sinx在[0，π2]上单增，又0π52π5π2，所以sinπ5sin2π5，所以sin21π542π5.答案：4．求函数y＝cos(－2x＋π3)的单调递减区间．解：因为y＝cos(－2x＋π3)＝cos[－(2x－π3)]＝cos(2x－π3)，所以当2kπ≤2x－π3≤2kπ＋π，k∈Z，即π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z时，函数y＝cos(2x－π3)为减函数，故原函数的单调递减区间为[kπ＋π6，kπ＋2π3]，k∈Z.-9-[A基础达标]1．(2019·河南林州第一中学期末检测)函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是()A．(π2，π)B．(π，2π)C．(π，3π2)D．(0，π)解析：选C.作出函数y＝|sinx|的图象，如图，观察图象可知C正确．2．函数f(x)＝sin(π6＋x)＋cos(π3－x)的最大值为()A．1B.32C.3D．2解析：选D.由π6＋x与π3－x互余得f(x)＝2sin(x＋π6)．故f(x)的最大值为2，故选D.3．函数y＝sin2x＋π3在区间[0，π]的一个单调递减区间是()A.0，5π12B.π12，7π12C.5π12，11π12D.π6，π2解析：选B.由2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)得kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12(k∈Z)，取k＝0，则一个单调递减区间为π12，7π12.4．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是()A．y＝cos|x|B．y＝|cosx|C．y＝sinx－π2D．y＝－sinx2解析：选C.y＝cos|x|在0，π2上是减函数，排除A；y＝|cosx|在0，π2上是减函数，排除B；y＝sinx－π2＝－sinπ2－x＝－cosx是偶函数，且在(0，π)上单调递