2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

-1-第1课时两角差的余弦公式考点学习目标核心素养两角差的余弦公式理解两角差的余弦公式的推导过程逻辑推理两角差的余弦公式的应用能利用公式进行计算、化简及求值逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P215－P217，并思考以下问题：1．两角差的余弦公式是什么？2．公式中的α、β是任意的吗？两角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β简记符号C(α－β)使用条件α，β为任意角■名师点拨(1)由C(α－β)可知，只要知道cosα，cosβ，sinα，sinβ的值，就可以求得cos(α－β)的值．(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对∀α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．()(2)对于∀α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．()答案：(1)√(2)×设α∈0，π2，若sinα＝35，则2cosα－π4等于()A.75B.15C．－75D．－15答案：Acos43°cos13°＋sin43°sin13°的值为()-2-A.12B．－12C.32D．－32答案：Ccos15°＝________．答案：6＋24两角差的余弦公式的简单应用求下列各式的值：(1)cos(－375°)；(2)cos5π12cosπ6＋cosπ12sinπ6；(3)12cos105°＋32sin105°.【解】(1)cos(－375°)＝cos375°＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)cos5π12cosπ6＋cosπ12sinπ6＝cos5π12cosπ6＋sin5π12sinπ6＝cos5π12－π6＝cosπ4＝22.(3)12cos105°＋32sin105°＝cos60°cos105°＋sin60°sin105°＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝22.-3-利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．1．化简cosα－π4sinα＋cosα＝________．解析：原式＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4sinα＋cosα＝22cosα＋22sinαsinα＋cosα＝22.答案：222．化简下列三角函数的值．(1)32cos75°＋12sin75°；(2)cosπ4＋θcosθ＋sinπ4＋θsinθ.解：(1)32cos75°＋12sin75°＝cos30°cos75°＋sin30°sin75°＝cos(30°－75°)＝cos(－45°)＝22.(2)cosπ4＋θcosθ＋sinπ4＋θsinθ＝cos[π4＋θ－θ]＝cosπ4＝22.给值求值(1)已知cosα＝13，α是第四象限角，sinβ＝35，β是第二象限角，求cos(α－β)的值．(2)已知α，β∈0，π2，且sinα＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cosβ的值．-4-【解】(1)因为cosα＝13，α是第四象限角，所以sinα＝－1－cos2α＝－1－132＝－223，因为sinβ＝35，β是第二象限角，所以cosβ＝－1－sin2β＝－1－352＝－45，则cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝13×－45＋－223×35＝－4－6215.(2)因为α，β∈0，π2，所以0＜α＋β＜π，由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365，又sinα＝45，所以cosα＝35，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1665×35＋6365×45＝204325.(变条件)若把本例(2)中的“α，β∈0，π2”改为“α，β∈π2，π”，求cosβ的值．解：因为α，β∈π2，π，所以π＜α＋β＜2π，由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝－6365，又sinα＝45，所以cosα＝－35，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα-5-＝－1665×－35＋－6365×45＝－204325.给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．1．已知sinα＝1517，α∈π2，π，则cosπ4－α的值为________．解析：因为sinα＝1517，α∈π2，π，所以cosα＝－1－sin2α＝－1－15172＝－817，所以cosπ4－α＝cosπ4cosα＋sinπ4sinα＝22×－817＋22×1517＝7234.答案：72342．已知sinα＋π4＝45，且54πα74π，求cosα的值．解：因为54πα74π，所以32πα＋π42π.所以cosα＋π40，所以cosα＋π4＝1－sin2α＋π4＝1－1625＝35，所以cosα＝cosα＋π4－π4＝cosα＋π4cosπ4＋sinα＋π4sinπ4＝35×22＋45×22＝7210.-6-给值求角已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈0，π2，求β的值．【解】因为α，β∈0，π2且cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，所以α＋β∈π2，π，所以sinα＝1－cos2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝5314.又因为β＝(α＋β)－α，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝12.又因为β∈0，π2，所以β＝π3.解给值求角问题的一般步骤(1)确定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．已知α，β均为锐角，且cosα＝255，cosβ＝1010，则α－β＝________．解析：因为α，β均为锐角，所以sinα＝55，sinβ＝31010.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.又sinα＜sinβ，所以0＜α＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜0.故α－β＝－π4.答案：－π4-7-1．sin11°cos19°＋cos11°cos71°的值为()A.32B.12C.1＋32D.3－12解析：选B.sin11°cos19°＋cos11°cos71°＝cos11°·cos71°＋sin11°sin71°＝cos(11°－71°)＝cos(－60°)＝12.故选B.2．已知cosα－π3＝cosα，则tanα＝________．解析：cosα－π3＝cosαcosπ3＋sinα·sinπ3＝12cosα＋32sinα＝cosα，所以32sinα＝12cosα，所以sinαcosα＝33，即tanα＝33.答案：333．若0απ2，－π2β0，cosα＝13，cosβ2＝33，求cosα－β2的值．解：由cosα＝13，0απ2，所以sinα＝223.由cosβ2＝33，－π4β20，所以sinβ2＝－63，所以cosα－β2＝cosαcosβ2＋sinαsinβ2＝13×33＋223×－63＝－33.[A基础达标]-8-1．cos20°＝()A．cos30°cos10°－sin30°sin10°B．cos30°cos10°＋sin30°sin10°C．sin30°cos10°－sin10°cos30°D．cos30°cos10°－sin30°cos10°解析：选B.cos20°＝cos(30°－10°)＝cos30°cos10°＋sin30°sin10°.2．(2019·浙江金华一中期末考试)若cos5xcos(－2x)－sin(－5x)sin2x＝0，则x的值可能是()A.π10B.π6C.π5D.π4解析：选B.因为cos5xcos(－2x)－sin(－5x)sin2x＝cos5xcos2x＋sin5xsin2x＝cos(5x－2x)＝cos3x＝0，所以3x＝π2＋kπ，k∈Z，即x＝π6＋kπ3，k∈Z，所以当k＝0时，x＝π6.3．(2019·北京海淀科大附中期中测试)若cos(α－β)＝13，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝()A.83B．－83C.223D．－223解析：选A.原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×13＝83.4．若sinαsinβ＝1，则cos(α－β)＝()A．0B．1C．±1D．－1解析：选B.由sinαsinβ＝1可知，sinα＝1，sinβ＝1或sinα＝－1，sinβ＝－1，此时均有cosα＝cosβ＝0，从而cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝0＋1＝1.5．已知锐角α，β满足cosα＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为()-9-A.3365B．－3365C.5465D．－5465解析：选A.因为α，β为锐角，cosα＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sinα＝45，sin(α＋β)＝1213，所以cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－513×35＋1213×45＝3365.6．cos2072°cos212°＋sin2072°sin212°＝________．解析：cos2072°cos212°＋sin2072°sin212°＝cos(2072°－212°)＝cos1860°＝cos60°＝12.答案：127．(2019·济南检测)已知cosπ3－α＝18，则cosα＋3sinα的值为________．解析：因为cosπ3－α＝cosπ3cosα＋sinπ3sinα＝12cosα＋32sinα＝18，所以cosα＋3sinα＝14.答案：148．在△ABC中，sinA＝725，cosB＝－817，则cos(A－B)＝________．解析：因为cosB＝－817，且0Bπ，所以π2Bπ，所以sinB＝1－cos2B＝1－－8172＝1517，且0Aπ2，所以cosA＝1－sin2A＝1－7252＝2425，所以cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB＝2425×－817＋725×1517＝－87425.答案：－874259．求下列各式的值．(1)cos105°；-10-(2)cos75°cos15°－sin255°sin15°.解：(1)原式＝cos(150°－45°)＝cos150°cos45°＋sin150°sin45°＝－32×22＋12×22＝2－64.(2)原式＝cos75°cos15°＋sin75°sin