2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

-1-第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式考点学习目标核心素养二倍角的正弦、余弦、正切公式会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式逻辑推理二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P220－P223，并思考以下问题：1．在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？2．在上述公式中，若α＝β，能得出什么结论？二倍角的正弦、余弦、正切公式名称公式推导记法正弦sin2α＝2sin__αcos__αS(α＋β)――→令β＝αS2αS2α余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αC(α＋β)――→令β＝αC2α利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2αC2α正切tan2α＝2tanα1－tan2αT(α＋β)――→令β＝αT2αT2α■名师点拨正确理解二倍角公式(1)要注意公式应用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如4α是2α的2倍，α是α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．-2-判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)10α是5α的倍角，5α是5α2的倍角．()(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．()(3)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()(4)对于任意角α，总有tan2α＝2tanα1－tan2α.()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×已知sinα＝35，cosα＝45，则sin2α等于()A.75B.125C.1225D.2425答案：D计算1－2sin222.5°的结果等于()A.12B.22C.33D.32答案：B已知tanα＝43，则tan2α＝________．答案：－247已知sinα＋cosα＝13，则sin2α＝________．答案：－89给角求值求下列各式的值．(1)sinπ8cosπ8；(2)cos2π6－sin2π6；-3-(3)2tan150°1－tan2150°；(4)cosπ5cos2π5.【解】(1)sinπ8cosπ8＝12×2sinπ8cosπ8＝12×sinπ4＝12×22＝24.(2)cos2π6－sin2π6＝cos2×π6＝cosπ3＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(4)原式＝2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5＝sin2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sinπ5＝sinπ54sinπ5＝14.给角求值问题的两类解法(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1．cos4π12－sin4π12等于()A．－12B．－32C.12D.32解析：选D.原式＝cos2π12－sin2π12·cos2π12＋sin2π12-4-＝cosπ6＝32.2．求下列各式的值．(1)tan30°1－tan230°；(2)1sin10°－3cos10°.解：(1)tan30°1－tan230°＝12×2tan30°1－tan230°＝12tan60°＝32.(2)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°＝4sin（30°－10°）sin（2×10°）＝4sin20°sin20°＝4.给值求值已知π2απ，sinα＝45.(1)求tan2α的值；(2)求cos2α－π4的值．【解】(1)由题意得cosα＝－35，所以tanα＝－43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－831－169＝247.-5-(2)因为sinα＝45，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×452＝－725，sin2α＝2sinα·cosα＝2×45×－35＝－2425.所以cos2α－π4＝cos2α·cosπ4＋sin2α·sinπ4＝－725×22＋－2425×22＝－31250.三角函数求值问题的一般思路(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)注意几种公式的灵活应用，如：①sin2x＝cosπ2－2x＝cos2π4－x＝2cos2π4－x－1＝1－2sin2π4－x；②cos2x＝sinπ2－2x＝sin2π4－x＝2sinπ4－xcosπ4－x.1．已知x∈－π2，0，cosx＝45，则tan2x＝()A.724B．－724C.247D．－247解析：选D.由cosx＝45，x∈－π2，0，得sinx＝－35，所以tanx＝－34，-6-所以tan2x＝2tanx1－tan2x＝2×－341－－342＝－247，故选D.2．若α∈π2，π，且3cos2α＝sinπ4－α，则sin2α的值为()A.118B．－118C.1718D．－1718解析：选D.cos2α＝sinπ2－2α＝sin2π4－α＝2sinπ4－αcosπ4－α，代入原式，得6sinπ4－α·cosπ4－α＝sinπ4－α.因为α∈π2，π，所以cosπ4－α＝16，所以sin2α＝cosπ2－2α＝2cos2π4－α－1＝－1718.化简与证明(1)化简2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α；(2)证明tanπ4＋α－tanπ4－α＝2tan2α.【解】(1)原式＝cos2α2tanπ4－αcos2π2－π4－α＝cos2α2tanπ4－αcos2π4－α-7-＝cos2α2sinπ4－αcosπ4－α＝cos2αsin2×π4－2α＝cos2αcos2α＝1.(2)证明：法一：左边＝sinπ4＋αcosπ4＋α－sinπ4－αcosπ4－α＝sinπ4＋αcosπ4－α－sinπ4－αcosπ4＋αcosπ4＋αcosπ4－α＝sinπ4＋α－π4＋αcosπ4＋αsinπ4＋α＝sin2α12sinπ2＋2α＝2sin2αcos2α＝2tan2α＝右边．所以等式成立．法二：左边＝1＋tanα1－tanα－1－tanα1＋tanα＝4tanα1－tan2α＝2tan2α＝右边．故原式成立．三角函数式的化简与证明(1)化简的方法①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sinθ±cosθ)2＝1±sin2θ.(2)证明三角恒等式的方法①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．1．若α为第三象限角，则1＋cos2αcosα－1－cos2αsinα＝________．解析：因为α为第三象限角，所以cosα＜0，sinα＜0，-8-所以1＋cos2αcosα－1－cos2αsinα＝2cos2αcosα－2sin2αsinα＝－2cosαcosα－－2sinαsinα＝0.答案：02．求证：4sinαcosα1＋cos2α·cos2αcos2α－sin2α＝tan2α.证明：左边＝2sin2α2cos2α·cos2αcos2α＝tan2α＝右边．1．已知sinα＝3cosα，那么tan2α的值为()A．2B．－2C.34D．－34解析：选D.因为sinα＝3cosα，所以tanα＝3，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×31－32＝－34.2．已知sinθ2＋cosθ2＝233，那么sinθ＝________，cos2θ＝________．解析：因为sinθ2＋cosθ2＝233，所以sinθ2＋cosθ22＝43，即1＋2sinθ2cosθ2＝43，所以sinθ＝13，所以cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×132＝79.答案：13793.cosπ12－sinπ12cosπ12＋sinπ12的值为________．解析：原式＝cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32.-9-答案：324．已知α∈π2，π，sinα＝55.(1)求sin2α，cos2α的值；(2)求cos5π6－2α的值．解：(1)因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－1－sin2α＝－255.sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35.(2)由(1)知cos5π6－2α＝cos5π6cos2α＋sin5π6sin2α＝－32×35＋12×－45＝－4＋3310.[A基础达标]1．已知sinπ4－x＝35，则cosπ2－2x的值为()A.1925B.1625C.1425D.725解析：选D.因为sinπ4－x＝35，所以cosπ2－2x＝cos2π4－x＝1－2sin2π4－x＝725.2．已知sinα＝55，则cos4α－sin4α的值为()A．－35B．－15-10-C.15D.35解析：选D.cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)·(cos2α－sin2α)＝cos2α＝1－2sin2α＝1－25＝35.3．设－3πα－5π2，化简1－cos（α－π）2的结果是()A．sinα2B．cosα2C．－cosα2D．－sinα2解析：选C.因为－3πα－5π2，－3π2α2－5π4，所以1－cos（α－π）2＝1＋cosα2＝cosα2＝－cosα2.4．已知cosα－π4＝－13，则sin(－3π＋2α)＝()A.79B．－79C.35D．－35解析：选A.易得cos2α－π2＝2cos2α－π4－1＝2×－132－1＝－79.又cos2α－π2＝cosπ2－2α＝sin2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin2α＝－－79＝79.故选A.5．化简tan14°1－tan214°·cos28°的结果为()A.sin28°2B．sin28°C．2sin28°D．sin14°cos28°解析：选A.tan14°1－tan214°·cos28°＝12×2tan14°1－tan214°·cos28°＝12tan28°·cos28°＝sin28°2，故选A.6．已知sinα－2cosα＝0，则tan2α＝