搜索
-1-章末复习提升课集合的基本概念(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9(2)若－3∈{x－2，2x2＋5x，12}，则x＝________．【解析】(1)①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1；③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0.综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个，故选C.(2)由题意知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.①当x－2＝－3时，x＝－1.把x＝－1代入，得集合的三个元素为－3，－3，12，不满足集合中元素的互异性；②当2x2＋5x＝－3时，x＝－32或x＝－1(舍去)，-2-当x＝－32时，集合的三个元素为－72，－3，12，满足集合中元素的互异性，由①②知x＝－32.【答案】(1)C(2)－32解决集合的概念问题应关注的两点(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为()A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可解析：选B.由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0，3，2}，符合题意．集合的基本关系已知集合A＝{x|x＜－1或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a＜1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．【解析】因为a＜1，所以2a＜a＋1，所以B≠∅.画数轴如图所示．由B⊆A知，a＋1＜－1或2a≥1.即a＜－2或a≥12.由已知a＜1，所以a＜－2或12≤a＜1，即所求a的取值范围是a＜－2或12≤a＜1.【答案】a＜－2或12)≤a＜1(1)判断两集合关系的两种常用方法-3-一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．(2)处理集合间关系问题的关键点已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．同时还要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏．1．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则下列关系正确的是()A．M＝NB．MNC．N⊆MD．NM解析：选B.由集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，N＝{0，1，2}，可知MN.2．已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有()A．1个B．2个C．4个D．8个解析：选B.|a|≥2⇒a≥2或a≤－2.又a∈M，(a－2)(a2－3)＝0⇒a＝2或a＝±3(舍)，即A中只有一个元素2，故A的子集只有2个，选B.3．已知集合A＝{x|0＜x≤4}，B＝{x|x＜a}，当A⊆B时，实数a的取值范围为a＞c，则c＝________．解析：A＝{x|0＜x≤4}，B＝{x|x＜a}，由A⊆B，得a＞4.所以c＝4.答案：4集合的运算(1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}(2)若集合A＝{x|－2x1}，B＝{x|x－1或x3}，则A∩B＝()A．{x|－2x－1}B．{x|－2x3}C．{x|－1x1}D．{x|1x3}(3)设全集为R，集合A＝{x|3≤x6}，B＝{x|2x9}．①分别求A∩B，(∁RB)∪A；②已知C＝{x|axa＋1}，若C⊆B，求实数a的取值构成的集合．-4-【解】(1)选C.由A∩B＝{1}得1∈B，所以m＝3，B＝{1，3}．(2)选A.A∩B＝{x|－2x－1}．(3)①A∩B＝{x|3≤x6}．因为∁RB＝{x|x≤2或x≥9}，所以(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x6或x≥9}．②因为C⊆B，如图所示．所以a≥2，a＋1≤9，解得2≤a≤8，所以所求集合为{a|2≤a≤8}．(1)集合基本运算的方法①定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解；②数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解．(2)集合与不等式结合的运算包含的类型及解决办法①不含字母参数：直接将集合中的不等式解出，在数轴上求解；②含有字母参数：若字母的取值影响到不等式的解，要先对字母分类讨论，再求解不等式，然后在数轴上求解．已知集合A＝{x|－3x≤6}，B＝{x|b－3xb＋7}，M＝{x|－4≤x5}，全集U＝R.(1)求A∩M；(2)若B∪(∁UM)＝R，求实数b的取值范围．解：(1)因为A＝{x|－3x≤6}，M＝{x|－4≤x5}，所以A∩M＝{x|－3x5}．(2)因为M＝{x|－4≤x5}，所以∁UM＝{x|x－4或x≥5}，又B＝{x|b－3xb＋7}，B∪(∁UM)＝R，-5-所以b－3－4，b＋7≥5，解得－2≤b－1.所以实数b的取值范围是{b|－2≤b－1}．充分条件、必要条件的判定及应用(1)“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)设x∈R，则“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件．若x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3，不是必要条件．故选A.(2)由－1≤x－1≤1，得0≤x≤2，因为0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/0≤x≤2，故“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的必要不充分条件，故选B.【答案】(1)A(2)B判断充分、必要条件的方法(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出满足下列条件的式子，用序号填空：(1)使a，b都为0的必要条件是________；(2)使a，b都不为0的充分条件是________；(3)使a，b至少有一个为0的充要条件是________．解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正数一负数；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0，b为任意实数；④ab＞0⇔a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，即a，b同为正数或同为负数．-6-综上可知：(1)使a，b都为0的必要条件是①②③；(2)使a，b都不为0的充分条件是④；(3)使a，b至少有一个为0的充要条件是①.答案：(1)①②③(2)④(3)①全称量词命题与存在量词命题写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：每一个素数都是奇数；(2)p：能被3整除的数，也能被4整除；(3)p：有些实数的绝对值是正数；(4)p：某些平行四边形是矩形．【解】(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，﹁p：存在一个素数不是奇数，是真命题．(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为存在一个能被3整除的数，不能被4整除，是真命题．(3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此，﹁p：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题．(4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，﹁p：每一个平行四边形都不是矩形，是假命题．全称量词命题、存在量词命题的真假判定(1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．(2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题为假．1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2解析：选D.将“∀”改写为“∃”，“∃”改写为“∀”，再否定结论可得，命题的否定为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．-7-2．判断下列命题的真假．(1)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；(2)任何实数都有算术平方根；(3)每个平面四边形的内角和都是360°；(4)至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数．解：(1)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线，故该命题为假命题．(2)当a＜0时，实数a不存在算术平方根，故该命题为假命题．(3)任意平面四边形的内角和都是360°，是真命题．(4)因为n2＋n＝n(n＋1)，当n为奇数时，n＋1为偶数；当n为偶数时，n＋1为奇数，故n(n＋1)一定是偶数，所以不存在一个整数n，使得n2＋n为奇数．故该命题为假命题．