2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.2 对数与对数函数（强化练）新人

-1-对数与对数函数(强化练)一、选择题1．2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4解析：选C.原式＝log5102＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2.2．若log23＝a，则log49＝()A.aB．aC．2aD．a2解析：选B.log49＝log29log24＝2log232＝log23＝a，故选B.3．已知4a＝7，6b＝8，则log1221可以用a，b表示为()A.3－b＋2ab3＋bB.2a＋b－ab3＋bC.3－b＋2ab4－2bD.2a＋b－ab4－2b解析：选A.由题意可得a＝log47＝lg72lg2，则lg7lg2＝2a，b＝log68＝3lg2lg6，则lg6lg2＝3b，据此有：log1221＝lg21lg12＝lg6＋lg7－lg2lg6＋lg2＝lg6lg2＋lg7lg2－1lg6lg2＋1＝3b＋2a－13b＋1＝3＋2ab－b3＋b.4．函数f(x)＝3x1－x＋lg(2x－1)的定义域为()A．(－∞，1)B．(0，1]C．(0，1)D．(0，＋∞)解析：选C.由1－x＞0，2x－1＞0，得x＜1，x＞0.故选C.5．若loga2＜logb2＜0，则下列结论正确的是()A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1D．b＞a＞1解析：选B.因为loga2＜0，logb2＜0，所以0＜a＜1，0＜b＜1，又loga2＜logb2，-2-所以a＞b，故0＜b＜a＜1.6．已知函数f(x)＝log2x，x＞0，log12（－x），x＜0，若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)解析：选C.当a＞0时，f(a)＝log2a，f(－a)＝log12a，f(a)＞f(－a)，即log2a＞log12a＝log21a，所以a＞1a，解得a＞1.当a＜0时，f(a)＝log12(－a)，f(－a)＝log2(－a)，f(a)＞f(－a)，即log12(－a)＞log2(－a)＝log121－a，所以－a＜1－a，解得－1＜a＜0，综上得－1＜a＜0或a＞1.7．函数y＝f(x)＝lg2x＋1－1的图象的对称性为()A．关于直线y＝x对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于原点对称解析：选D.因为y＝f(x)＝lg2x＋1－1＝lg1－x1＋x，所以f(－x)＝lg1＋x1－x＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，又因为函数的定义域为(－1，1)，关于原点对称，则函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称．8．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()解析：选A.依题意，得f(x)的定义域为R，又f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f(x)过定点(0，0)，排除B，D，故选A.9．函数y＝log14x2－log12x＋5在区间[2，4]上的最小值是()-3-A．4B．8C.234D.254解析：选C.y＝12log12x2－12log12x＋5.令t＝12log12x(2≤x≤4)，则－1≤t≤－12，且y＝t2－t＋5，所以当t＝－12时，ymin＝234.10．已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上为x的减函数，则a的取值范围为()A．(0，1)B．(1，2)C．(0，2)D．[2，＋∞)解析：选B.题目中隐含条件a0，且a≠1.当a0时，2－ax为减函数，故要使y＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，则a1，且2－ax在x∈[0，1]时恒为正数，即2－a0，故可得1a2.二、填空题11．已知4a＝5b＝10，则1a＋2b＝________．解析：因为4a＝5b＝10，所以a＝log410，1a＝lg4，b＝log510，1b＝lg5，所以1a＋2b＝lg4＋2lg5＝lg4＋lg25＝lg100＝2.答案：212．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则3－a＞1，a＞1，即1＜a＜2；若f(x)，g(x)均为减函数，则-4-0＜3－a＜1，0＜a＜1，无解．答案：1＜a＜213．(2019·合肥高一检测)如果关于lgx的方程lg2x＋(lg7＋lg5)lgx＋lg7·lg5＝0的两个根是lgα，lgβ(α0，β0)，那么αβ的值是________．解析：由题意，得lgα＋lgβ＝－(lg7＋lg5)＝lg135，所以lg(αβ)＝lg135，所以αβ＝135.答案：13514．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，f(2)＝0，则不等式f(log2x)＞0的解集为________．解析：由题意f(|log2x|)＞f(2)．又f(x)在[0，＋∞)上为增函数．因此|log2x|＞2，即log2x＞2或log2x＜－2，解得x＞4或0＜x＜14.答案：0，14∪(4，＋∞)三、解答题15．已知函数f(x)＝log12(2x－1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)若x∈1，92，求函数f(x)的值域．解：(1)由2x－10得，x12，函数f(x)的定义域是12，＋∞，值域是R.(2)令u＝2x－1，则由x∈1，92知，u∈[1，8]．因为函数y＝log12u在[1，8]上是减函数，-5-所以y＝log12u∈[－3，0]．所以函数f(x)在x∈1，92上的值域为[－3，0]．16．已知f(x)＝log4(4x－1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间12，2上的值域．解：(1)由4x－1＞0，解得x＞0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设0＜x1＜x2，则0＜4x1－1＜4x2－1，因此log4(4x1－1)＜log4(4x2－1)，即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(3)因为f(x)在区间12，2上单调递增，又f12＝0，f(2)＝log415，因此f(x)在12，2上的值域为[0，log415]．17．已知函数f(x)＝lg(3x－3)．(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)设函数h(x)＝f(x)－lg(3x＋3)，若不等式h(x)t无解，求实数t的取值范围．解：(1)由3x－30，得x1，所以f(x)的定义域为(1，＋∞)．因为3x－3∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的值域为R.(2)因为h(x)＝lg(3x－3)－lg(3x＋3)＝lg3x－33x＋3＝lg1－63x＋3的定义域为(1，＋∞)，且h(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以函数h(x)的值域为(－∞，0)．若不等式h(x)t无解，则t的取值范围为t≥0.18．设函数f(x)＝x2－（4a＋1）x－8a＋4，x＜1，logax，x≥1.(1)当a＝12时，求函数f(x)的值域；-6-(2)若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝12时，f(x)＝x2－3x，x＜1，log12x，x≥1.当x＜1时，f(x)＝x2－3x是减函数，所以f(x)＞f(1)＝－2；当x≥1时，f(x)＝log12x是减函数，所以f(x)≤f(1)＝0，综上，函数f(x)的值域是R.(2)若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则4a＋12≥1，0＜a＜1，12－（4a＋1）－8a＋4≥loga1.解得14≤a≤13，故a的取值范围是14，13.