2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 正

-1-第2课时正弦、余弦函数的单调性与最值学习目标核心素养1.掌握y＝sinx和y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2．掌握y＝sinx和y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的单调性和最大(小)值等性质，提升学生的数学抽象素养．2．通过三角函数单调性等性质的学习，培养学生的运用数形结合研究问题的思想，提升学生的数学运算素养.正弦、余弦函数的图象与性质解析式y＝sinxy＝cosx图象值域[－1，1][－1，1]单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，k∈Z上递增，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ]，k∈Z上递减在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减最值x＝π2＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－π2＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1对称轴x＝kπ＋π2(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)对称中心(kπ，0)k∈Zπ2＋kπ，0k∈Z思考：y＝sinx和y＝cosx在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m、n的值吗？-2-[提示]由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝π2，n＝π.1．y＝2sin3x＋π3的值域是()A．[－2，2]B．[0，2]C．[－2，0]D．[－1，1]A[这里A＝2，故值域为[－2，2]．]2．函数y＝sin2x＋5π2的一个对称中心是()A．π8，0B．π4，0C．－π3，0D．3π8，0B[y＝sin2x＋5π2＝cos2x，令2x＝kπ＋π2(k∈Z)得x＝kπ2＋π4(k∈Z)，令k＝0的对称中心为π4，0，故选B.]3．函数y＝2－sinx取得最大值时x的取值集合为________．xx＝2kπ－π2，k∈Z[当sinx＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，此时x＝2kπ－π2，k∈Z.]4．函数f(x)＝2cos2x－π4的单调减区间为________．kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)[令2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)，故单调减区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)．]正弦函数、余弦函数的单调性【例1】(1)函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．-3-(2)已知函数f(x)＝2sinπ4＋2x＋1，求函数f(x)的单调递增区间．思路点拨：(1)确定a的范围→y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数→y＝cosx在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．(2)确定增区间→令u＝π4＋2x→y＝2sinu＋1的单调递增区间．(1)(－π，0][因为y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．](2)[解]令u＝π4＋2x，函数y＝2sinu＋1的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤π4＋2x≤π2＋2kπ，k∈Z，得－3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)＝2sinπ4＋2x＋1的单调递增区间是－3π8＋kπ，π8＋kπ，k∈Z.1．本例(2)中条件不变，问0，π4是该函数的单调递增区间吗？[解]令2x＋π4＝u，∵x∈0，π4，∴π4≤2x＋π4≤3π4，即u∈π4，3π4.而y＝sinu在π4，3π4上不单调，故y＝2sinπ4＋2x＋1在0，π4上不是单调递增的．2．本例(2)中条件不变，求在[－π，π]上的单调递增区间．[解]对于y＝2sinπ4＋2x＋1，由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2(k∈Z)得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8(k∈Z)．∵－π≤x≤π，令k＝－1时，－π≤x≤－78π，-4-令k＝0时，－3π8≤x≤π8，令k＝1时，5π8≤x≤π，∴函数y＝2sinπ4＋2x＋1在[－π，π]上的单调递增区间为－π，－78π、－3π8，π8和5π8，π.3．本例(2)中把条件中的“π4＋2x”改为“π4－2x”，结果怎样？[解]y＝2sinπ4－2x＋1＝－2sin2x－π4＋1，令2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)．故函数y＝2sinπ4－2x＋1的单调递增区间为kπ＋3π8，kπ＋7π8(k∈Z)．1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A0，ω0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A0，ω0时，同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．1．(1)函数y＝sin3x＋π6，x∈－π3，π3的单调递减区间为________．(2)已知函数y＝cosπ3－2x，则它的单调递减区间为________．(1)－π3，－2π9，π9，π3(2)kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)[(1)由π2＋2kπ≤3x＋π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)，-5-得π9＋2kπ3≤x≤4π9＋2kπ3(k∈Z)．又x∈－π3，π3，所以函数y＝sin3x＋π6，x∈－π3，π3的单调递减区间为－π3，－2π9，π9，π3.(2)y＝cosπ3－2x＝cos2x－π3，由2kπ≤2x－π3≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z，∴单调递减区间是kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．]利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小【例2】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin－π18与sin－π10；(2)sin196°与cos156°；(3)cos－235π与cos－174π.思路点拨：用诱导公式化简→利用函数的单调性，由自变量的大小推出对应函数值的大小[解](1)∵－π2＜－π10＜－π18＜π2，∴sin－π18＞sin－π10.(2)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°，∵0°＜16°＜66°＜90°，∴sin16°＜sin66°，从而－sin16°＞－sin66°，即sin196°＞cos156°.(3)cos－235π＝cos235π＝cos4π＋35π＝cos35π，-6-cos－174π＝cos174π＝cos4π＋π4＝cosπ4.∵0＜π4＜35π＜π，且y＝cosx在[0，π]上是减函数，∴cos35π＜cosπ4，即cos－235π＜cos－174π.三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到－π2，π2或π2，3π2内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内．(2)不同名的函数化为同名的函数．(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是()A．sinα＜sinβB．cosα＜sinβC．cosα＜cosβD．cosα＞cosβ(2)比较下列各组数的大小：①cos15π8，cos14π9；②cos1，sin1.(1)B[α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞π2，α＞π2－β，α∈0，π2，π2－β∈0，π2，所以cosα＜cosπ2－β＝sinβ.](2)[解]①cos15π8＝cosπ8，cos14π9＝cos4π9，因为0＜π8＜4π9＜π，而y＝cosx在[0，π]上单调递减，-7-所以cosπ8＞cos4π9，即cos15π8＞cos14π9.②因为cos1＝sinπ2－1，而0＜π2－1＜1＜π2且y＝sinx在0，π2上单调递增，所以sinπ2－1＜sin1，即cos1＜sin1.正弦函数、余弦函数的最值问题[探究问题]1．函数y＝sinx＋π4在x∈[0，π]上的最小值是多少？提示：因为x∈[0，π]，所以x＋π4∈π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22.2．函数y＝Asinx＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？提示：不是．因为A0时，最大值为A＋b，若A0时，最大值应为－A＋b.【例3】(1)函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为________．(2)已知函数f(x)＝asin2x－π3＋b(a＞0)．当x∈0，π2时，f(x)的最大值为3，最小值是－2，求a和b的值．思路点拨：(1)先用平方关系转化，即cos2x＝1－sin2x，再将sinx看作整体，转化为二次函数的值域问题．(2)先由x∈0，π2求2x－π3的取值范围，再求sin2x－π3的取值范围，最后求f(x)min，f(x)max，列方程组求解．(1)[－4，0][y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2.因为－1≤sinx≤1，所以－4≤y≤0，所以函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为[－4，0]．](2)[解]∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤2π3，-8-∴－32≤sin2x－π3≤1，∴f(x)max＝a＋b＝3，f(x)min＝－32a＋b＝－2.由a＋b＝3，－32a＋b＝－2，得a＝2，b＝－2＋3.1．求本例(1)中函数取得最小值时x的取值集合．[解]因为y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2，所以当sinx＝－1时，ymin＝－4，此时x的取值集合为xx＝2kπ－π2，k∈Z.2．本例(2)中，函数变成f(x)＝2cos2x＋π3＋3，求其最大值和最小值，并求取得最大值及最小值时的集合．[解](1)因为－1≤cos2x＋π3≤1，所以当cos2x＋π3＝1时，ymax＝5；这时2x＋π3＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－π6(k∈Z)．当cos2x＋π3＝－1时，ymin＝1.这时2x＋π3＝2kπ＋π(k∈Z)，即x＝kπ＋π3(k∈Z)．综上，f(x)max＝5，这时x取值集合为xx＝kπ－π6（k∈Z）；f(x)min＝1，这时x取值集合为xx＝kπ＋π3（k∈Z）.3．本例(2)中，函数变成f(x)＝2cos2x＋π3＋3，且加上条件x∈－π6，