2019-2020学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算 第1课时 复

-1-第1课时复数的加减与乘法运算学习目标核心素养1．掌握复数代数形式的加减运算．(重点)2．理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算．(重点、难点)3．掌握共轭复数的概念及应用．(易错点)通过复数的加减、乘法运算，提升数学运算、逻辑推理素养.1．复数的加减法(1)复数的加法、减法法则①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数)．②加法法则：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，减法法则：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.(2)运算律①交换律：z1＋z2＝z2＋z1.②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．复数的乘法与共轭复数(1)复数的乘法①复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.②乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(2)共轭复数①定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数．复数z＝a＋bi的共轭复数记作z，即z＝a－bi.②关系：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1，z2互为共轭复数⇔a＝c且b＝－d.-2-③当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝z，也就是说实数的共轭复数仍是它本身．思考：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝()A．8iB．6C．6＋8iD．6－8iB[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.]2．复数(3＋2i)i等于()A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3iB[(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B.]3．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为________．0[z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋z2的虚部为0.]4．设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.－1[(1＋i)(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i.∵其对应点在实轴上，∴a＋1＝0，即a＝－1.]复数的加、减法运算【例1】(1)13＋12i＋(2－i)－43－32i＝________.(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.(1)1＋i[13＋12i＋(2－i)－43－32i＝13＋2－43＋12－1＋32i＝1＋i.](2)[解]法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.-3-法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝x2＋y2，又|z|＋z＝1＋3i，所以x2＋y2＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得x2＋y2＋x＝1，＝3，解得x＝－4，＝3，所以z＝－4＋3i.1．复数加、减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．1．复数z满足z－(1－i)＝2i，则z等于________．1＋i[∵z－(1－i)＝2i，∴z＝1－i＋2i＝1＋i.]复数的乘法运算【例2】(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝________.(2)复数(3＋2i)i＝________.[思路探究](1)结合复数相等分别求出a，b的值，然后再做复数的乘法运算或直接运用完全平方公式进行运算．(2)直接运用分配律进行乘法运算．(1)3－4i(2)－2＋3i[(1)∵a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1，∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝22－2×2×i＋i2＝3－4i.(2)(3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i.]1．两个复数代数形式乘法的一般方法首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；(3)(1±i)2＝±2i.-4-2．若|z1|＝5，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝________.4＋3i或－4－3i[设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则|z1|＝a2＋b2＝5，即a2＋b2＝25，z1·z2＝(a＋bi)·(3＋4i)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i.∵z1·z2是纯虚数，∴3a－4b＝0，3b＋4a≠0，a2＋b2＝25，解得a＝4，b＝3或a＝－4，b＝－3.∴z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.]共轭复数的应用[探究问题]1．两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？[提示]若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，则z＋z＝2a∈R.因此，和一定是实数；而z－z＝2bi.当b＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数．2．若z1与z2是共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？[提示]|z1|＝|z2|.【例3】已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z.[思路探究]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解．[解]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有a2＋b2－3b＝1，－3a＝3，解得a＝－1，b＝0或a＝－1，b＝3.所以z＝－1或z＝－1＋3i.共轭复数的处理技巧当已知条件出现共轭复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．-5-3．已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数z＝1－i，求实数a，b使az＋2bz＝(a＋2z)2.[解]因为z＝1＋i，z＝1－i，所以az＋2bz＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.由a，b∈R，及复数相等的充要条件，得a＋2b＝a2＋4a，a－2b＝4a＋2，解得a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.1．本节课的重点是复数的加、减、乘法运算，乘法运算按多项式乘法展开后，注意i2＝－1.2．本节课的易错点是共轭复数及其应用，注意z＝bi－a的共轭复数是z＝－bi－a，不是z＝bi＋a.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．()(2)若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.()(3)两个共轭虚数的差为纯虚数．()[答案](1)×(2)×(3)√2.a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为()A．1＋iB．2＋iC．3D．－2－iD[∵z1＝2＋bi，z2＝a＋i，∴z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝0，所以a＝－2，b＝－1，即a＋bi＝－2－i.]3．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝______.4＋2i[∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i，设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.]4．计算：(1)(1－i)－12＋32i(1＋i)；(2)(2－i)2.-6-[解](1)法一：(1－i)－12＋32i(1＋i)＝－12＋32i＋12i－32i2(1＋i)＝3－12＋3＋12i(1＋i)＝3－12＋3＋12i＋3－12i＋3＋12i2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)－12＋32i＝(1－i2)－12＋32i＝2－12＋32i＝－1＋3i.(2)(2－i)2＝(2－i)(2－i)＝4－4i＋i2＝3－4i.