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-1-1.2.1常见函数的导数学习目标核心素养1.能利用导数定义，求几个常见函数的导数，领悟求导数算法的基本思想．(难点)2．牢记常见函数的导数公式，并能应用公式求基本初等函数的导数．(重点)3．掌握函数y＝ax(a0，a≠1)与y＝logax(a0，a≠1)的求导公式．(易混点)1.通过几个常见函数的导数，提升逻辑推理素养．2．通过对求导公式的应用，提升数学运算素养.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝axf′(x)＝axln_a(a0，且a≠1)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝1xlna(a0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝1xf(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_x思考：(1)任何函数都有导函数吗？(2)函数f(x)＝a2的导函数是f′(x)＝2a吗？[提示](1)不是，例如函数y＝2x，x∈{1,2,3,4}没有导函数．(2)不是，因为函数f(x)＝a2是常数函数，所以其导函数为f′(x)＝0.1．下列结论不正确的是()A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝5x，则y′＝5-2-C．若y＝x－1，则y′＝－x－2D．若y＝x，则y′＝12xD[由导数的公式可知，y＝x的导数为y′＝12x.]2．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于()A．110B．10C．10ln10D．110ln10C[∵f′(x)＝10xln10，∴f′(1)＝10ln10.]3．已知f(x)＝lnx，则f′(e)的值为________．1e[f′(x)＝1x，∴f′(e)＝1e.]4．曲线y＝9x在点M(3,3)处的切线方程是________．x＋y－6＝0[∵y′＝－9x2，∴y′|x＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.]利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝x12；(2)y＝1x4；(3)y＝5x3；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.[思路探究]首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．[解](1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝1x4′＝(x－4)′＝－4x－5＝－4x5.(3)y′＝(5x3)′＝(x)′＝35x.(4)y′＝(3x)′＝3xln3.(5)y′＝(log5x)′＝1xln5.-3-1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“1x与lnx”“ax与logax”“sinx与cosx”的导数区别．1．下列结论，①(sinx)′＝cosx；②()x′＝x；③(log3x)′＝13lnx；④(lnx)′＝1x.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个C[①(sinx)′＝cosx，正确；②()x′＝53x，错误；③(log3x)′＝1xln3，错误；④(lnx)′＝1x，正确；所以①④正确，故选C.]利用公式求函数在某点处的导数【例2】质点的运动方程是s＝sint，(1)求质点在t＝π3时的速度；(2)求质点运动的加速度．[思路探究](1)先求s′(t)，再求s′π3.(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导．[解](1)v(t)＝s′(t)＝cost，∴vπ3＝cosπ3＝12.即质点在t＝π3时的速度为12.-4-(2)∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．2．(1)求函数f(x)＝13x在(1,1)处的导数；(2)求函数f(x)＝cosx在π4，22处的导数．[解](1)∵f′(x)＝13x′＝(x)′＝－13x＝－133x4，∴f′(1)＝－1331＝－13.(2)∵f′(x)＝－sinx，∴f′π4＝－sinπ4＝－22.导数公式的应用[探究问题]1．f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝x均可表示为y＝xα(α为常数)的形式，其导数有何规律？[提示]∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，(x)′＝()x′＝12x，∴(xα)′＝α·xα－1.2．点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[提示]如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，-5-则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得，最小距离为22.【例3】已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．[思路探究]求出直线PQ的斜率即为所求切线的斜率，设出切点后求导数，导数值等于斜率值．[解]因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，又因为PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝12.所以切点为M12，14.所以所求切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.1．(变换条件)是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．[解]假设存在与直线PQ垂直的切线，因为PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，所以与PQ垂直的切线斜率k＝－1.设切点为(x1，y1)，由于y′＝2x，所以2x1＝－1，则x1＝－12，y1＝14，切线方程为y－14＝－x＋12，即4x＋4y＋1＝0.2．(改变问法)已知条件不变，求P点处的切线方程，Q点处的切线方程．[解]由题意得曲线在x＝－1处的切线斜率为－2，则在P点处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.曲线在Q点处的切线斜率k＝4，Q点处切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.-6-求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．1．熟记基本初等函数的求导公式，注意f(x)＝ax与f(x)＝ex及f(x)＝log2x与f(x)＝lnx之间求导公式的区别与联系．2．利用公式求导时，一般遵循“先化简，再求导”的原则.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数的导数还是同底数的指数函数．()(2)sinπ6′＝cosπ6＝32.()(3)若f(x)＝x5，则f′(x)＝5x4.()(4)若f(x)＝4x，则f′(x)＝x·4x－1.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．若y＝cos2π3，则y′＝()A．－32B．－12C．0D．12C[y＝cos2π3＝－12，∴y′＝0.选C.]3．已知函数y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝__________.1e[设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴k＝1x0，∴y＝1x0·x，又点(x0，y0)在曲线y＝lnx上，∴y0＝lnx0，∴lnx0＝x0x0，∴x0＝e，∴k＝1e.]4．求曲线y＝2x2－1的斜率为4的切线的方程．-7-[解]设切点为P(x0，y0)，y′＝4x，由题意知，当x＝x0时，y′＝4x0＝4，所以x0＝1.当x0＝1时，y0＝1，∴切点P的坐标为(1,1)．故所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.