2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.4 导数在实际生活中的应用学案 苏教版选修

-1-1.4导数在实际生活中的应用学习目标核心素养1.能应用导数解决实际问题．(重点)2．审清题意，正确建立函数关系式．(难点)3．忽视变量的实际意义，忽略函数定义域．(易错点)1.通过分析实际生活问题，建立数学模型，培养数学建模素养．2．通过利用导数解决问题，提升数学运算素养.1．导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决．2．用导数解决实际生活问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？[提示](1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等．1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．7万件B．9万件C．11万件D．13万件B[设y＝f(x)，即f(x)＝－13x3＋81x－234.故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．-2-当0＜x＜9时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增；当x＞9时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减．因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值．故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]2．做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为________m.4[设底面边长为xm，高为hm，则有x2h＝256，所以h＝256x2.所用材料的面积设为Sm2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·256x2＋x2＝1024x＋x2.S′＝2x－1024x2，令S′＝0，得x＝8，因此h＝25664＝4(m)．]3．某件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．115[利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．]面积、体积的最值问题【例1】请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[思路探究]弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．[解]设包装盒的高为hcm，底面边长为acm.-3-由已知得a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)(0x30)，V′＝62x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.1．解决面积、体积最值问题的思路要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．2．解决导数在实际应用时应注意的问题(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．1．将一张2×6m的矩形钢板按如图所示划线，要求①至⑦全为矩形，且其中①与③，②与④分别是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为xm，容积为ym3.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)x取何值时，水箱的容积最大．[解](1)由水箱的高为xm，得水箱底面的宽为(2－2x)m，长为6－2x2＝(3－x)m.故水箱的容积为y＝2x3－8x2＋6x(0x1)．-4-(2)由y′＝6x2－16x＋6＝0，解得x＝4＋73(舍去)或x＝4－73.因为y＝2x3－8x2＋6x(0x1)在0，4－73内单调递增，在4－73，1内单调递减，所以当x的值为4－73时，水箱的容积最大．用料最省、成本(费用)最低问题【例2】位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短．[思路探究]可设CD＝x，则CE＝3－x，利用勾股定理得出AC，BC的长，从而构造出所需电线总长度的函数．[解]设CD＝xkm，则CE＝(3－x)km.则所需电线总长l＝AC＋BC＝1＋x2＋1.52＋3－x2(0≤x≤3)，从而l′＝x1＋x2－3－x1.52＋3－x2.令l′＝0，即x1＋x2－3－x1.52＋3－x2＝0，解得x＝1.2或x＝－6(舍去)．因为在[0,3]上使l′＝0的点只有x＝1.2，所以根据实际意义，知x＝1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为1.2km处时，所需电线总长最短．1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．-5-2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝119200v4－1160v3＋15v.(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．[解](1)Q＝P·400v＝119200v4－1160v3＋15v·400v＝119200v3－1160v2＋15·400＝v348－52v2＋6000(0v≤100)．(2)Q′＝v216－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80.当0v80时，Q′0；当80v≤100时，Q′0，∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q最小值＝Q(80)＝20003(元)．利润最大、效率最高问题[探究问题]1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？提示：(1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获-6-得的利润最大．[思路探究](1)根据x＝5时，y＝11求a的值．(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．[解](1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2x－3＋10x－62＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)极大值42由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．3．某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1＜x≤12)满足：当1＜x≤4时，y＝a(x－3)2＋bx－1(a，b为常数)；当4＜x≤12时，y＝2800x－100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品-7-所获利润f(x)最大．(7≈2.65)[解](1)由题意：x＝2时y＝800，∴a＋b＝800，又∵x＝3时y＝150，∴b＝300，可得a＝500.∴y＝500x－32＋300x－1，1＜x≤4，2800x－100，4＜x≤12.(2)由题意：f(x)＝y(x－1)＝500x－32x－1＋300，1＜x≤4，2800x－100x－1，4＜x≤12，当1＜x≤4时，f(x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3500x2＋7500x－4200，f′(x)＝500(3x－5)(x－3)，∴由f′(x)0，得53＜x＜3，f′(x)0，得1x53或3x≤4.∴f(x)在1，53，(3,4)上递增，在53，3上递减，∵f53＝80009＋450＜f(4)＝1800，∴当x＝4时f(x)有最大值，f(4)＝1800.当4＜x≤12时，f(x)＝2800x－100(x－1)＝2900－100x＋2800x≤2900－4007≈1840，当且仅当100x＝2800x，即x＝27≈5.3时取等号，∴x＝5.3时f(x)有最大值1840，∵1800＜1840，∴当x＝5.3时f(x)有最大值1840，即当销售价格为5.3元/千克时，使店铺所获利润最大．1．在解决实际问题的数学建模过程中，一定要认真读题、审题，分析各个量之间的关系，恰当设出变量．2．在解决问题的过程中一定要注意自变量的实际意义及范围.-8-1．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x260－x2(0x60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为()A．30B．40C．50D．60B[V′(x)＝－32x2＋60x＝－32x(x－40)，因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)0，此时V(x)单调递增；当40x60时，V′(x)0，此时V(x)单调递减，所以V(40)是V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.]2．把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A．332cm2B．4cm2C．32cm2D．23cm2D[设一段长为x，则另一段长为12－x