2019-2020学年高中数学 模块复习课学案 苏教版选修2-2

-1-模块复习课一、导数及其应用1．导数的概念(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率Δx→0时，fx0＋Δx－fx0Δx称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线斜率．2．几个常用函数的导数(1)若y＝f(x)＝c，则f′(x)＝0.(2)若y＝f(x)＝x，则f′(x)＝1.(3)若y＝f(x)＝x2，则f′(x)＝2x.(4)若y＝f(x)＝1x，则f′(x)＝－1x2.(5)若y＝f(x)＝x，则f′(x)＝12x.3．基本初等函数的导数公式(1)若f(x)＝C(C为常数)，则f′(x)＝0.(2)若f(x)＝xα(α为常数)，则f′(x)＝αxα－1.(3)若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cos_x.(4)若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sin_x.(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝axln_a.(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex.(7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝1xlna.(8)若f(x)＝lnx，则f′(x)＝1x.4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′xg2x.-2-5．复合函数的求导法则(1)复合函数记法：y＝f(g(x))．(2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x)．(3)逐层求导法则：y′x＝y′u·u′x.6．函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．(2)函数的极值与导数①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当x＜a时，f′(x)＞0，当x＞a时，f′(x)＜0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当x＜a时，f′(x)＜0，当x＞a时，f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．7．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值．二、数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念及分类(1)代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中实部为a，虚部为b；(2)共轭复数为z＝a－bi(a，b∈R)．(3)复数的分类复数a＋bia，b∈R实数b＝0有理数整数分数无理数无限不循环小数虚数b≠0纯虚数a＝0非纯虚数a≠0①若z＝a＋bi(a，b∈R)是实数，则z与z的关系为z＝z.②若z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数，则z与z的关系为z＋z＝0(z≠0)．2．与复数运算有关的问题(1)复数相等的充要条件-3-a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(2)复数的模复数z＝a＋bi的模|z|＝a2＋b2，且z·z＝|z|2＝a2＋b2.(3)复数的四则运算，若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)①加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；②减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；③乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；④除法：z1z2＝a1a2＋b1b2＋a2b1－a1b2ia22＋b22＝a1a2＋b1b2a22＋b22＋a2b1－a1b2a22＋b22i(z2≠0)．3．复数的几何意义(1)任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量OZ→.(2)复数加法的几何意义若复数z1，z2对应的向量OZ→1，OZ→2不共线，则复数z1＋z2是以OZ→1，OZ→2为两邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数．(3)复数减法的几何意义复数z1－z2是连接向量OZ→1，OZ→2的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)0，则f(x)在定义域上单调递增．(×)2．函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(×)3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(√)4．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则在区间[a，b]上恒有f′(x)0.(×)5．“函数f(x)在区间[a，b]上的导数f′(x)0”是“函数f(x)在区间[a，b]上单调递增”的充分不必要条件．(√)6．曲线的切线与曲线的交点有且只有一个．(×)7．函数的极大值一定大于极小值．(×)8．可导函数极值点x0处，一定有f′(x0)＝0，但f′(x0)＝0时，x0不一定是函数的极值点．(√)9．在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．(√)10．函数的最大值一定是函数的极大值．(×)11．函数在闭区间上的最值一定在端点处或极值点处取得．(√)-4-12．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(×)13．复平面内，y轴上的点对应的数一定为纯虚数．(×)14．复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.(√)15．复平面内，互为共轭复数的两个数所对应的点关于原点对称．(×)16．若z1＝2i，z2＝－i，则z1z2.(×)17．复平面内，一个复数对应一个点，同时也对应一个向量，三者之间满足一一对应关系．(√)18．复数与复数相加减后结果只能是实数．(×)19．虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．(×)20．两个复数的积一定是虚数．(×)1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0B．12C．1D．2C[因为z＝1－i1＋i＋2i＝1－i21＋i1－i＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.]2．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝()A．3－2iB．3＋2iC．－3－2iD．－3＋2iD[i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.]3．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－iB．－3＋iC．3－iD．3＋iD[(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.故选D.]4．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)C[A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.]5．(2017·全国卷Ⅱ)(1＋i)(2＋i)＝()-5-A．1－iB．1＋3iC．3＋iD．3＋3iB[(1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i－1＝1＋3i.故选B.]6．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.]7．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝xD[因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.]8．(2017·江苏高考)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．10[法一：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，∴|z|＝－12＋32＝10.法二：|z|＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10.]9．(2018·江苏高考)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．2[复数z＝1＋2ii＝(1＋2i)(－i)＝2－i,实部是2.]10．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线方程为________．y＝2x－2[由题意知，y′＝2x，所以曲线在点(1,0)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝2，故所求切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.]11．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．x－y＋1＝0[∵y′＝2x－1x2，∴y′|x＝1＝1，-6-即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，∴切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.]12．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－lnx－1.(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥1e时，f(x)≥0.[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1x.由题设知，f′(2)＝0，所以a＝12e2.从而f(x)＝12e2ex－lnx－1，f′(x)＝12e2ex－1x.当0x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．(2)证明：当a≥1e时，f(x)≥exe－lnx－1.设g(x)＝exe－lnx－1，则g′(x)＝exe－1x.当0x1时，g′(x)0；当x1时，g′(x)0.所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x0时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当a≥1e时，f(x)≥0.