2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 7 简单几何体的再认识 7.3 球学案 北师大

-1-7．3球学习目标核心素养1.了解球的体积和表面积公式．(重点)2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题.(难点)1.通过学习球的体积、表面积公式培养直观想象素养.2.通过求球的体积和表面积提升数学运算素养.1．球的体积球的半径为R，那么它的体积V球＝43πR3.2．球的表面积球的半径为R，那么它的表面积S球＝4πR2.思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形．1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为()A．8∶27B．2∶3C．4∶9D．2∶9C[43πr3∶43πR3＝8∶27，∴r∶R＝2∶3，∴S1∶S2＝4∶9.]2．如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积之比是()A．3∶2B．2∶3-2-C．1∶2D．1∶1D[设球的半径为R，则球的表面积S表＝4πR2，圆柱的侧面积S侧＝2πR×2R＝4πR2，所以S表∶S侧＝1∶1.]3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.4π3B.23πC.32πD.π6A[由题意得，球的直径为正方体的棱长，即球的半径为1，所以V球＝43π×13＝4π3.]4．用一个平面截半径为25cm的球，截面圆的面积是225πcm2，则球心到截面的距离为________cm.20[由题意知，球的半径R＝25(cm)，易知截面圆的半径r＝15(cm)，则球心到截面的距离d＝252－152＝20(cm)．]球的体积与表面积【例1】(1)球的体积是32π3，则此球的表面积是()A．12πB．16πC.16π3D.64π3(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________．(1)B(2)52[(1)43πR3＝323π，故R＝2，球的表面积为4πR2＝16π.(2)设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，则由题意得13πr2·h＝43πR3，r＝2R，∴13π(2R)2·h＝43πR3，∴R＝h，r＝2h，∴l＝r2＋h2＝5h，∴S圆锥侧＝πrl＝π×2h×5h＝25πh2，S球＝4πR2＝4πh2，∴S圆锥侧S球＝25πh24πh2＝52.]-3-求球的体积与表面积的方法1要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解.2半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.1．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积；(2)已知球的体积为108π3，求它的表面积．[解](1)因为直径为2，所以半径R＝1，所以表面积S球＝4πR2＝4π×12＝4π，体积V球＝43πR3＝43π×13＝43π.(2)因为V球＝43πR3＝1083π，所以R3＝27，R＝3，所以S球＝4π×32＝36π.球的表面积及体积的应用【例2】一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？[思路探究]设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式解决．[解]设△PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后水面高PH＝x，如图所示．∵AC＝3r，PC＝3r，∴以AB为底面直径的圆锥的容积为V圆锥＝13πAC2·PC＝13π(3r)2·3r＝3πr3，V球＝43πr3.球取出后水面下降到EF，水的体积为V水＝13πEH2·PH-4-＝13π(PH·tan30°)2·PH＝19πx3.而V水＝V圆锥－V球，即19πx3＝3πr3－43πr3，∴x＝315r.故球取出后水面的高为315r.1．画出截面图是解答本题的关键．2．球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．2．圆柱形容器的内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？[解]设取出小球后，容器中水面下降hcm，两个小球的体积为V球＝2×43π×523＝125π3，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V＝π×52×h，所以125π3＝π×52×h，所以h＝53(cm)，即若取出这两个小球，则容器的水面将下降53cm.与球有关的切、接问题[探究问题]1．一个正方体的内切球与其外接球的体积之比是多少？提示：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为12a，它的外接球的半径为32a，故所求的比为1∶33.2．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是多少？提示：设长方体的体对角线长为l，球半径为R，则l＝2R，l2＝32＋42＋52，所以R＝522，所以S球＝4πR2＝50π.【例3】已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的直径为()-5-A.3172B．210C．13D．310C[如图，由已知条件可知，当AB⊥AC时，BC中点D为△ABC外接圆的圆心，因为三棱柱是直三棱柱，所以DE中点M为球心，又DE＝AA1＝12，设△ABC外接圆半径为r，则r＝AB2＋AC22＝52.即EC1＝52.球O的半径R＝|MC1|＝EC21＋DE22＝132.故球的直径为13.]1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？[解]由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43，从而V外接球＝43πR3＝43π×(23)3＝323π，V内切球＝43πr3＝43π×23＝32π3.2．本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？[解]设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4·34·a2＝3a2，其内切球半径r为正四面体高的14，即r＝14·63a＝612a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa26，则S1S2＝3a2πa26＝63π.3.本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？[解]依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为322－12×62＝3，-6-因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解(其R为球的半径)．1．球的体积和表面积公式设球的半径为R(1)体积公式：V＝43πR3.(2)表面积公式：S＝4πR2.2．用一个平面截球所得截面的特征(1)用一个平面去截球，截面是圆面．(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面．(3)球心到截面的距离d与球的半径R以及截面的半径r，有下面的关系r＝R2－d2.3．常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．1．思考辨析(1)球的表面积等于它的大圆面积的2倍．()(2)两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.()(3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面．()[答案](1)×(2)×(3)√2．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于()A.12B．1C．2D．3D[由题设球半径为r，则4πr2＝43πr3，可得r＝3，故选D.]-7-3．表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个多面体的体积为()A.13QB．QC.43QD．2QC[4πR2＝64π⇒R＝4，∴V＝13QR＝43Q，故选C.]4．某几何体的三视图如图所示(单位：m)：(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；(2)求该几何体的体积(结果保留π)．[解]由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体．(1)该几何体的表面积为S＝2πR2＋6×2×2－π×R2＝π＋24(m2)．(2)该几何体的体积为V＝12×43πR3＋23＝23π＋8(m3)．