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-1-§6统计活动：结婚年龄的变化§7相关性学习目标核心素养1.了解收集数据的方式，体会收集数据的过程．(重点)2．理解两个变量的关系，明确函数关系和相关关系的异同点．(难点)3．会作散点图，并根据散点图判断变量间是否为线性相关．(难点)1.通过理解两个变量的关系，提升数学抽象素养．2．通过收集数据作散点图，并根据散点图判断变量间的相关关系，提升数据分析素养.1．统计活动(1)统计活动的步骤：①明确调查的目的，确定调查的对象．②利用随机抽样抽取样本，收集数据．③整理数据，用表格来表示数据．④分析数据，其方法有两种：一是用统计图表来分析，二是计算数据特征．⑤通过分析数据作出推断．(2)数据的收集方式：①做试验；②查阅资料；③设计调查问卷．2．线性相关(1)散点图：在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．(2)曲线拟合：如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．3．线性相关、非线性相关若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的．-2-若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关的．此时，可以用一条曲线来拟合．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．思考：任意两个统计数据是否均可以作散点图？[提示]可以，不管这两个统计量是否具备相关性，以一个变量值作为横坐标，另一个作为纵坐标，均可画出它的散点图．1．下列所给出的两个变量之间存在相关关系的为()A．学生的座号与数学成绩B．学生的学号与身高C．曲线上的点与该点的坐标之间的关系D．学生的身高与体重D[A与B的两个变量之间没有任何关系，C中的两个变量之间具有函数关系．]2．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M.如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均数为N，那么M∶N为()A.4041B．1C.4140D．2B[N＝40M＋M41＝M，∴M∶N＝1.]3．下面是四个散点图中的点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是()C[散点图A中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；B中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；C中的点分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；D中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故选C.]4．有5组数据对应的点如图所示，去掉点________后，剩下的4组数据的线性相关性就更好了．-3-图174D(3,10)[点D(3,10)与A、B、C、E四点较离散，去掉D点，A、B、C、E在某条直线附近．]相关关系的判断【例1】在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？①正方形边长与面积之间的关系；②作文得分与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．[解]两变量之间的关系有两种：函数关系与相关关系，①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系；③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期，身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系；④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．1．本题主要考查函数关系与相关关系的区别与联系．2．判断两个变量是否是相关关系的关键是看这两个变量之间是否具有不确定性(随机性)．1．下列关系中为相关关系的有()①学生的学习态度评分和学习成绩之间的关系；②老师的执教水平评分与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．A．①②B．①③C．②③D．②④A[由相关关系定义可知，①②是相关关系，③④无相关关系．]-4-统计活动中的数据分析【例2】某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如下表所示：景点ABCDE原价/元1010152025现价/元55152530日平均人数/103人11232(1)该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，日平均总收入持平，风景区是怎样计算的？(2)另一方面，游客认为调整收费后风景区的日平均总收入相对于调价前实际上增加了约9.4%.游客是怎样计算的？(3)你认为风景区和游客谁的说法更能反映整体实际．[解](1)风景区是这样计算的：调整前的平均价格为10＋10＋15＋20＋255＝16(元)，调整后的平均价格为5＋5＋15＋25＋305＝16(元)．因为调整前后的平均价格不变，日平均人数不变，所以日平均总收入不变．(2)游客是这样计算的：原日平均总收入为10×1000＋10×1000＋15×2000＋20×3000＋25×2000＝160000(元)，现在日平均总收入为5×1000＋5×1000＋15×2000＋25×3000＋30×2000＝175000(元)．日平均总收入增加了175000－160000160000≈9.4%.(3)游客的说法更能反映整体实际．1．统计活动中的数据分析，可以分析数据中的平均值、方差、标准差、中位数、众数等数字特征，从而全面把握总体情况．2．统计活动中的数据分析，可以采取图表来分析，如条形图、扇形图、折线图、直方图以及茎叶图等，这样得到的结果更直观，更能体现出所占的份量．2．下表是某年中美两国女排比赛的技术数据统计：-5-项目中国美国发球得分37一攻得分3735防守反击得分2925拦网得分1313因对方失误得分2722总得分109102(1)学生甲用两幅直方图如图所示，比较中美两国比赛的得分情况，学生乙用一幅直方图如图所示比较中美两国比赛的得分情况，哪一个效果好？(2)从统计表中你能获取哪些信息？[解](1)学生甲的方案由于纵轴单位刻度不同，不容易对两国排球赛的得分情况进行比较；而学生乙将两张图合并成一张图，可以一目了然地看出两国排球赛的得分情况的差异，因此，乙的效果更好．(2)分析表中的数据我们可以大概地了解到，中国队战胜美国队的主要因素是失误较少，防守反击比较成功，而中国队发球的威力不大，这是需要提高的．散点图[探究问题]为了了解人的身高与体重的关系，随机地抽取9名15岁的男生，测得如下数据：-6-身高/cm165157155175168157178160163体重/kg5244455554476250531.怎样通过身高与体重的具体的数据说明它们不是函数关系？提示：同一身高157cm对应着不同的体重44kg和47kg，所以体重不是身高的函数．2．如果把身高看作横坐标，体重看作纵坐标，在坐标系中画出对应点是怎样的图形？从画出的图形中，你发现了什么规律？提示：从图中发现随着身高的增长，体重基本上是呈直线增加的趋势．【例3】某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如下对应数据：x10151720252832y11.31.822.62.73.3(1)画出散点图；(2)判断y与x是否具有线性相关关系．[思路探究]涉及两个变量：利润与销售总额．以销售总额为自变量，考察利润的变化趋势，从而作出判断．[解](1)散点图如下，(2)由图知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系．判断变量之间有无相关关系，一种常用的简便可行的方法就是绘制散点图.散点图是由数据点分布构成，是分析研究两个变量相关关系的重要手段.从散点图中，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量是线性相关的，否则不具备线性相关关系.3．现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x与入学后的第一次数学成绩y，-7-数据如下：学号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请利用散点图判断这10名学生的两次数学考试成绩是否具有相关关系．[解]两次数学考试成绩散点图如下图所示．由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，具有正相关关系．因此，这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关系．1．判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关．2．两个变量间的关系分类两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系；第三类是两变量没有任何关系.1．思考辨析(1)两个变量之间若存在相关关系，则这种相关关系是一种不确定关系．()(2)相关关系有两种，分别为线性相关关系和非线性相关关系．()(3)两个变量之间具有相关关系时，其散点图一定分布在某条直线附近．()[解析](1)√，根据变量之间的关系的定义知正确．(2)√，相关关系分为线性相关与非线性相关．(3)×，只有线性相关的两个变量的散点图才分布在某条直线附近．[答案](1)√(2)√(3)×2．如图所示两个变量具有相关关系的是()-8-图173A．①②B．①③C．②④D．②③D[②③能反映两个变量的变化规律，它们之间是相关关系．]3．某医院急救中心关于病人等待急诊的记录如下表：等待时间(分钟)[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x＝________(分钟)，病人等待时间标准差的估计值s＝________(分钟)．9．55.34[病人平均等待时间的估计值x＝120(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5(分钟)，s2＝120[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5，∴s＝28.5≈5.34(分钟)．]4．李老师为了了解学生的计算能力，对某同学进行了10次试验，收集数据如下：题数x(道)5101520253035404550做题时间y(分钟)9192637485261738189画出散点图，并判断它们是否有线性相关关系．[解]散点图如图，由散点图可以看出，两者之间具有线性相关关系．