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-1-第2课时直线方程的两点式和一般式学习目标核心素养1.掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(重点)2.了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系．(难点)1.通过学习直线方程的两点式、截距式和一般式方程培养数学抽象素养.2.通过求解直线的方程及几种方程之间的互化提升数学运算素养.1．直线方程的两点式设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上的任意两点．(1)两点满足的条件：x1≠x2且y1≠y2.(2)形式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1.思考1：直线的两点式方程是否表示所有直线？提示：直线的两点式方程不表示平行于坐标轴的直线．2．直线方程的截距式(1)形式：xa＋yb＝1.(2)a，b的几何意义：a为直线在x轴上的截距；b为直线在y轴上的截距．思考2：直线方程的截距式是否可以表示所有的直线？提示：直线方程的截距式不表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线．3．直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．1．过点A(5,6)和点B(－1,2)的直线方程的两点式是()A.y－5x－6＝y＋1x－2B.y－62－6＝x－5－1－5C.2－6y－6＝－1－5x－5D.x－62－0＝y－5－1－5B[代入两点式方程，得y－62－6＝x－5－1－5，故B正确．]2．已知直线l与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线l的方程为________．-2-x3＋y2＝1[由直线方程的截距式，得x3＋y2＝1.]3．直线2x＋3y－6＝0的斜率是________，倾斜角是_______(填“零”“锐”“直”或“钝角”)，在y轴上的截距是________，截距式方程是________．－23钝角2x3＋y2＝1[将方程化为斜截式得y＝－23x＋2，∴斜率k＝－23，倾斜角为钝角，在y轴上的截距为2，化为截距式方程为x3＋y2＝1.]直线方程的两点式和截距式方程【例1】求满足下列条件的直线方程．(1)过点A(－2,3)，B(4，－1)；(2)在x轴，y轴上的截距分别为4，－5；(3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．[解](1)由两点式得y－3－1－3＝x＋24＋2，化简得2x＋3y－5＝0.(2)由截距式得x4＋y－5＝1，化简为5x－4y－20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x－2y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为xa＋ya＝1.因为直线过点P(2,3)，所以2＋3a＝1，即a＝5.直线方程为x5＋y5＝1，即x＋y－5＝0.所以所求直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.1．已知直线上的两点坐标．应验证两点的横坐标不相等，纵坐标也不相等后，再用两点式方程，也可先求出直线的斜率，再利用点斜式求解．2．若已知直线在x轴，y轴上的截距(都不为0)，用截距式方程最为方便．-3-1．(1)直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________；(2)过点(0，－3)和(2,0)的直线的截距式方程为________；(3)过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．(1)x－y＋3＝0(2)x2＋y－3＝1(3)x2＋y3＝1[(1)将(－1,2)和(2,5)代入y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，得y－25－2＝x＋12＋1，即y－23＝x＋13，∴直线l的方程为x－y＋3＝0.(2)因为直线在x轴，y轴上的截距分别为2，－3，由直线方程的截距式，得方程为x2＋y－3＝1.(3)设方程的截距式为xa＋yb＝1，则由题意得3b＝1，a＋b＝5，解得a＝2，b＝3，所以直线方程为x2＋y3＝1.]直线方程的一般式【例2】设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：(1)直线l的斜率为－1；(2)直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.[解析](1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－2k－3x＋2，由题意得－2k－3＝－1，解得k＝5.(2)直线l的方程可化为xk－3＋y2＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.1．一般式化为斜截式的步骤：(1)移项得By＝－Ax－C；(2)当B≠0时，得斜截式：y＝－ABx－CB.-4-2．一般式化为截距式的步骤：方法一：(1)把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；(2)当C≠0时，方程两边同除以－C，得Ax－C＋By－C＝1；(3)化为截距式：x－CA＋y－CB＝1.方法二：(1)令x＝0求直线在y轴上的截距b；(2)令y＝0求直线在x轴上的截距a；(3)代入截距式方程xa＋yb＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，不会将一般式化为两点式和点斜式．2．下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是()A．3x＋4y＋7＝0B．4x＋3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0D．3x＋4y－42＝0B[将一般式化为斜截式，斜率为－43的有B，C两项．又y＝－43x＋14过点(0,14)，即直线过第一象限，所以只有B项正确．]直线方程的综合应用[探究问题]1．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0，能否得出不论a为何值，直线l总经过第一象限？提示：将直线l的方程整理为y－35＝ax－15，∴直线l过点A15，35，而点A15，35在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限．2．上述问题中，为使直线不经过第二象限，如何求a的取值范围．提示：要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，即令x＝0时，y＝－a－35≤0，∴a≥3.-5-【例3】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)求证：不论a取何值，直线l必过定点，并求出这个定点；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[解](1)证明：直线l的方程可变形为(a＋1)x＋y＋3－(a＋1)＝0.即y＋3＝－(a＋1)(x－1)．故不论a取何值，直线l恒过定点(1，－3)．(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴－a＋1＞0，a－2≤0，或－a＋1＝0，a－2≤0.∴a≤－1.故a的取值范围是(－∞，－1]．若将本例中直线的方程变为“(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)”其它不变，该题应如何做．[解](1)证明：直线方程可变为a(3x－y)－(x－2y＋1)＝0的形式，令3x－y＝0，x－2y＋1＝0，得x＝15，y＝35.∴不论a取何值，直线l必过定点15，35.(2)当斜率不存在，即a－2＝0时，a＝2，方程为x＝15，直线过第一、四象限，符合条件；当斜率存在时，则斜率应大于等于0，在y轴上的截距小于等于0，即3a－1a－2≥0，－1a－2≤0.解得a≤13或a＞2，a＞2.所以a＞2.综上，实数a的取值范围是[2，＋∞)．含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系.这无穷多条直线是过同一个点的.这里对一般式灵活变形后变成点斜式是解决问题的关键.-6-1．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．1．思考辨析(1)平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)表示．()(2)直线方程的特殊形式都可以转化为直线方程的一般式，但一般式不一定能转化为每一种特殊形式．()(3)直线的一般式方程有A，B，C三个系数，所以需要由三个已知条件才能确定直线的一般式方程．()(4)直线的一般式方程中直线的斜率为－BA.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×2．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为()A．y＝x＋3B．y＝－x＋1C．y＝x＋2D．y＝－x－2A[代入两点式得直线方程y－14－1＝x＋21＋2，整理得y＝x＋3.]3．若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________．m≠－3[若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0，解方程组m2＋5m＋6＝0，m2＋3m＝0，得m＝－3，所以m≠－3时，方程表示一条直线．]4．求过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．[解]①若直线过原点，则k＝－43，-7-∴y＝－43x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点，设xa＋ya＝1，即x＋y＝a.∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.故直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.