2019-2020学年高中数学 第2章 解析几何初步 3 3.1 空间直角坐标系的建立 3.2 空间

-1-3．1空间直角坐标系的建立3．2空间直角坐标系中点的坐标学习目标核心素养1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念.2.会在空间直角坐标系中用三元有序数组刻画点的位置．(重点、难点)1.通过空间直角坐标系的建立方法及有关概念培养数学抽象素养.2.通过在空间直角坐标系中用三元有序数组，刻画点的位置提升直观想象素养.1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系建立的流程图：平面直角坐标系↓通过原点O，再增加一条与xOy平面垂直的z轴↓空间直角坐标系(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：①伸出右手，让四指与大拇指垂直；②四指先指向x轴正方向；③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向；④大拇指的指向即为z轴正方向．(3)有关名称：如图所示，①O叫作原点；②x，y，z轴统称为坐标轴；③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，由x，y轴确定的平面记作xOy平面，由y，z轴确定的平面记作yOz平面，由x，z轴确定的平面记作xOz平面．2．空间直角坐标系中点的坐标-2-(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画．(2)空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x轴坐标，第二个是y轴坐标，第三个是z轴坐标．(3)空间直角坐标系中，点一一对应三元有序数组．(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O，P为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1，P2，P3的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．思考：画空间直角坐标系时，任意两坐标轴的夹角是否都画成90°呢？提示：不是，空间直角坐标系中，任意两坐标轴的夹角都是90°，但在画直观图时通常画为∠xOy＝135°，∠xOz＝135°.1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一象限内C[点(2,0,3)的y轴坐标为0，所以该点在xOz平面上．]2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是()A.a2＋b2B．|a|C．|b|D．|c|D[点P(a，b，c)到坐标平面的距离应为|c|.]3．在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2,3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为________．(－4,0,0)[∵点P(－4，－2,3)，∴自点P引x轴的垂线，垂足坐标为(－4,0,0)．]求空间点的坐标【例1】如图，棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．[思路探究]取D为空间坐标系的原点，过D点的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，按定义确定E，F，G坐标．[解]如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，E点在平面xDy中，且|EA|-3-＝12.∴E点的坐标为1，12，0.∵B点和B1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F点坐标为1，1，12.同理可得G点坐标为1，12，12.1．空间中点的位置和点的坐标是相对的，建立空间直角坐标系，要力争尽可能简捷地将点的坐标表示出来．因此，要确定各点到xDy面、yDz面、xDz面的距离，同时中点坐标公式在空间直角坐标系中仍然适用．2．设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1P2中点P(x，y，z)坐标满足x＝x1＋x22，y＝y1＋y22，z＝z1＋z22.1．(1)点M0，26，－13所在的位置是()A．x轴上B．xOz平面上C．xOy平面内D．yOz平面内(2)正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为1，且|BP|＝13|BD′|，建立如图所示的空间直角坐标系，则P点的坐标为()A.13，13，13B.23，23，23C.13，23，13D.23，23，13(1)D(2)D[(1)∵M点的坐标为0，26，－13，x＝0，∴点M在平面yOz内．-4-(2)如图所示，过P分别作平面xOy和z轴的垂线，垂足分别为E，H，过E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为F，G，由于|BP|＝13|BD′|，所以|DH|＝13|DD′|＝13，|DF|＝23|DA|＝23，|DG|＝23|DG|＝23，所以P点的坐标为23，23，13，故选D.]已知点的坐标确定点的位置【例2】在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6,4)．[解]法一：先确定点M′(2，－6,0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如图所示)．法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2,6,4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．由点的坐标确定点位置的方法(1)先确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置；(2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．2．在空间直角坐标系中，作出点P(5,4,6)．[解]第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.求空间某对称点的坐标[探究问题]1．平面中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点坐标是什么？类比平面中两点的中点坐标，空间中两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点坐标是什么？-5-提示：平面上两点P1，P2的中点坐标为x1＋x22，y1＋y22；空间中两点P1，P2中点的坐标为x1＋x22，y1＋y22，z1＋z22.2．在空间直角坐标系中，关于一个平面对称的点有什么特点？关于一条坐标轴对称的点有什么特点？提示：关于哪个平面的对称点在这个平面上的坐标不变，另外的坐标变成原来的相反数．关于一条坐标轴的对称点这个坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数．3．在空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么特点？提示：三个坐标分别互为相反数．【例3】求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．[思路探究]解答本题可先作出点A的坐标，然后借助于图形，分析其对称点的情况．[解]如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|，则A与C关于坐标平面xOy对称点C(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N，并延长到点B，使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)，∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴对称的点的坐标为(1，－2,1).点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点：1Px，y，z―――――→关于原点对称P1－x，－y，－z；2Px，y，z―――――→关于x轴对称P2x，－y，－z；Px，y，z―――――→关于y轴对称P3－x，y，－z；Px，y，z―――――→关于z轴对称P4－x，－y，z.记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”.3Px，y，z―――――――――→关于坐标平面xOy对称P5x，y，－z；Px，y，z――――――――→关于坐标平面yOz对称P6－x，y，z；Px，y，z――――――――→关于坐标平面xOz对称P7x，－y，z.3．写出点P(－2,1,4)关于y轴，z轴，yOz面，xOz面的对称点的坐标．-6-[解](1)点P关于y轴的对称点坐标为P1(2,1，－4)，(2)点P关于z轴的对称点坐标为P2(2，－1,4)，(3)点P关于面yOz的对称点为P3(2,1,4)，(4)点P关于面xOz对称的点为P4(－2，－1,4)．1．空间直角坐标系的作图要求(1)将空间直角坐标系Oxyz画在纸上时，x轴与y轴，x轴与z轴均画成135°，而z轴垂直于y轴．(2)y轴和z轴的单位长度相同，x轴的单位长度为y轴(或z轴)单位长度的一半．(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直．2．空间直角坐标系中点与有序实数组(x，y，z)的关系在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序实数组(x，y，z)之间是一种一一对应关系．(1)过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴，y轴，z轴分别交于P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次是x，y，z，这样对于空间任意一点A，就定义了一个有序数组(x，y，z)．(2)反之，对任意一个有序数组(x，y，z)，按照上述作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴，y轴，z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点即为所求的点A.1．思考辨析(1)给定空间直角坐标系，空间任意一点与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系．()(2)点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的xOy坐标平面上．()(3)空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标为(0，y,0)．()(4)在不同的空间直角坐标系中，同一点的坐标可能不同．()[解析](2)×，∵点P(1,0,2)的纵坐标为0，∴点P(1,0,2)应在坐标平面xOz上．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．在空间直角坐标系中，点M(－2,1,0)关于原点的对称点M′的坐标是()A．(2，－1,0)B．(－2，－1,0)C．(2,1,0)D．(0，－2,1)A[很明显点M和M′的中点是原点，所以点M′的坐标是(2，－1,0)．]-7-3．在空间直角坐标系中，已知点A(－1,2，－3)，则点A在yOz平面内射影的点的坐标是________．(0,2，－3)[由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知，点A在yOz平面内的射影的点的坐标是(0,2，－3)．]4．如图，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标．[解]以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．依题意知，B(2，2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．