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-1-2.3互斥事件学习目标核心素养1.了解互斥事件的概念及概率加法公式．2．理解互斥事件和对立事件的区别和联系．3．掌握对立事件的概率及概率的计算公式．(难点)4．能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题．(难点)1.通过学习互斥事件的概念及互斥事件和对立事件的区别与联系，培养数学抽象素养．2．通过运用互斥事件，对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题，提升数学运算素养.一、互斥事件1．互斥事件的定义在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．2．事件A与B至少有一个发生给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋An表示在一次随机试验中，事件A1，事件A2，…，事件An中至少有一个发生．3．互斥事件的概率加法公式一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋An发生(即A1，A2，…，An中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．二、对立事件及其概率的求法公式1．定义在每一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为A.2．性质-2-P(A)＋P(A)＝1，即P(A)＝1－P(A)．思考：(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？[提示](1)因为1为奇数，所以A⊆B.(2)①看两个事件是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是．1．对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是()A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．不互斥、不对立C[必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立．]2．从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论哪个是正确的()A．A与C互斥B．B与C互斥C．任何两个都互斥D．任何两个都不互斥C[由题意可知，事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．]3．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③C[从1～9中任取两个数，有以下三种情况．(1)两个均为奇数，(2)两个均为偶数，(3)一个奇数和一个偶数，故③为对立事件．]4．从几个数中任取实数x，若x∈(－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈(－1,0)的概率是________．0．2[设“x∈(－∞，－1]”为事件A，“x是负数”为事件B，“x∈(－1,0)”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，B＝A＋C，∴P(B)＝P(A)＋P(C)，P(C)＝P(B)－P(A)＝0.5－0.3＝0.2.]-3-互斥事件与对立事件的判断【例1】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生．[解]从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果：两男或两女或一男一女．(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件但不是对立事件；(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．1．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生．若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件．2．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．1．(1)抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是()A．A与BB．B与CC．A与DD．B与D(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则下列结论正确的序号为________．①A与B是互斥而非对立事件；②A与B是对立事件；③B与C是互斥而非对立事件；④B与C是对立事件．(3)从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，观察红球个数和白球个数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．-4-①至少有1个白球，都是白球；②至少有1个白球，至少有一个红球；③至少有1个白球，都是红球．[解](1)C(2)④[(1)A与D互斥，但不对立．(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，所得到的基本事件有6种：得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点、得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点．事件A包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为3点、得到的点数为5点，事件B包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点，事件C包含的结果有得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点，所以B与C是对立事件．故填④.](3)解：①不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球”和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事件．②不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”，“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”，两个事件可以同时发生，故不是互斥事件．③是互斥事件也是对立事件．因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，且必有一个发生，所以是互斥事件也是对立事件．互斥事件的概率【例2】袋中有12个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512.(1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率；(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率．[思路探究]从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解．[解](1)从袋中任取一球，记事件A为“得到红球”，B为“得到黑球”，C为“得到黄球”，D为“得到绿球”，则事件A，B，C，D两两互斥．由已知P(A)＝13，P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝512，-5-P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝512，∴P(B＋C＋D)＝1－P(A)＝1－13＝23.∵B与C＋D，B＋C与D也互斥，∴P(B)＝P(B＋C＋D)－P(C＋D)＝23－512＝14，P(D)＝P(B＋C＋D)－P(B＋C)＝23－512＝14，P(C)＝1－P(A＋B＋D)＝1－(P(A)＋P(B)＋P(D))＝1－13＋14＋14＝1－56＝16.故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14，16，14.(2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球，∴得到的球是红球或黄球，即事件A＋C，∴P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝13＋16＝12，故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为12.1．解决本题的关键是明确取到不同颜色的球不可能同时发生，即互斥．由此可知用概率加法公式求解．2．若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．当某一事件包含几个互斥的事件时，求该事件发生的概率也用上述规律．2．(1)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为()A．0.42B．0.38C．0.2D．0.8(2)向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中第二个军火库的概率为0.12，炸中第三个军火库的概率为0.28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．[解](1)C[记分别摸一个球为红球、白球和黑球为事件A，B，C，则A，B，C为互斥-6-事件，且A＋B＋C为必然事件，由题意知P(A)＋P(B)＝0.58，P(A)＋P(C)＝0.62，P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，解得P(A)＝0.2.](2)设A，B，C分别表示炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件，事件D表示军火库爆炸，已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.12，P(C)＝0.28.又因为只投掷了一枚炸弹，故不可能炸中两个及以上军火库，所以A，B，C是互斥事件，且D＝A＋B＋C，所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.12＋0.28＝0.6，即军火库发生爆炸的概率为0.6.对立事件的概率与求法[探究问题]1．若令A＝“小明考试及格”，A＝“小明考试不及格”，则事件A与事件A能不能同时发生，或者都不发生？为什么？提示：不可能同时发生，由于事件A与A是互斥事件，所以不可能同时发生，事件A与A也不可能都不发生，因为一次考试中，小明的成绩要么及格，要么不及格，二者必居其一，故A与A必有一个发生．2．将一枚质地均匀的骰子随机抛掷一次，观察骰子向上一面的点数．设U＝“出现点数的全体”，A＝“出现的点数是偶数”，B＝“出现的点数是奇数”，则A，U是互斥事件吗？A，B是互斥事件吗？B，U是互斥事件吗？”提示：A，U不是互斥事件，A，B是互斥事件，B，U不是互斥事件．【例3】一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．[思路探究]先设出有关的互斥事件，然后把所求事件的概率转化为求某些互斥事件和的概率，另外也可考虑用古典概型以及对立事件来解决．[解]法一：利用等可能事件求概率．(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9(种)不同取法，任取1球有12种取法．所以任取1球得红球或黑球的概率为P1＝912＝34.(2)从12个球中任取一球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为P2＝5＋4＋212＝1112.法二：利用互斥事件求概率．记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；-7-A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412，P(A3)＝212，P(A4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.法三利用对立事件求概率的方法．(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出