2019-2020学年高中数学 第3章 概率 3 模拟方法——概率的应用学案 北师大版必修3

-1-§3模拟方法——概率的应用学习目标核心素养1.记住几何概型的概念和特点．(重点)2．掌握几何概型的计算方法和步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．(重点、难点)3．了解模拟方法的基本思想，会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等．(难点)1.通过学习几何概型的概念和特点，培养数学抽象素养．2．通过几何概型的计算公式解决实际问题，提升数学运算素养.1．模拟方法模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验．2．几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．3．几何概型的特点与概率计算公式(1)几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．②每个基本事件出现的可能性相等．(2)几何概型的概率计算公式：在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.(3)计算步骤：①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性；②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)n和m.这是计算的难点；-2-③利用概率公式P(A)＝mn计算．思考：几何概型与古典概型有何区别？[提示]几何概型与古典概型的异同点类型异同古典概型几何概型不同点(基本事件的个数)一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有有限个一次试验的所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个相同点(基本事件发生的等可能性)每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则()A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．m是n的近似值D[随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．]2．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|＞1的概率为()A.78B.56C.34D.12A[问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，所以P＝43π×23－43π×1343π×23＝78.]3．在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为()A.310B.15C.25D.45B[∵25＜S＜49，∴5＜AP＜7，∴P(25＜S＜49)＝7－510＝15.]4．在1000mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________．31000[由几何概型知，P＝31000.]-3-与长度有关的几何概型【例1】(1)某公共汽车站每隔5min有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的，乘客候车时间不超过3min的概率是________．(2)一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．(1)35(2)12[(1)法一设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为5，记T是线段T1T2上的点，且TT2的长等于3，记等车时间不超过3min为事件A，事件A(候车时间不超过3min)发生即当点落在线段TT2上，记D＝T1T2＝5，d＝TT2＝3，所以P(A)＝dD＝35.即候车时间不超过3min的概率为35.法二容易判断这是一个几何概型问题，如图所示．记A为“候车时间不超过3min”，以x表示乘客来到车站的时间，那么每一个试验结果可以表示为x，假定乘客到车站后第一辆汽车来到的时刻为t，依据题意，乘客必在(t－5，t]内来到车站，故D＝{x|t－5＜x≤t}，欲使乘客候车时间不超过3min必须满足t－3≤x≤t，所以d＝{x|t－3≤x≤t}，所以P(A)＝dD＝35.(2)如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则△ABC的周长为3＋4＋5＝12.某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率P＝DE＋FG＋MNBC＋CA＋AB＝3＋2＋112＝12.]如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型.可按下列公式来计算其概率：PA＝事件A构成的区域长度全部试验结果构成的区域长度.1．(1)函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概-4-率为()A．1B.23C.310D.25(2)如图，在平面直角坐标系中，射线OT为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内的概率是________．(1)C(2)16[(1)令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2，f(x)的图像是开口向上的抛物线，与x轴的交点为(－1,0)，(2,0)，图像在x轴下方，即f(x0)≤0的x0的取值范围为x0∈[－1,2]，所以P＝2－－15－－5＝310.(2)因为在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内对应的角度为60°，而整个角集合对应的角度为圆周角，所以该角终边落在∠xOT内的概率P＝60360＝16.]与体积有关的几何概型【例2】一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．[解]依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1，则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P＝1333＝127.1．如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体积及事件A所占的体积．其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的体积试验的全部结果构成的体积.2．解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．2．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中任取一点M，则满足∠AMB＞90°的概率为()A.π24B.π12-5-C.π8D.π6A[在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中任取一点M，满足∠AMB＞90°的区域的面积是半径为1的球的14，体积为14×43×π×13＝π3，∴所求概率为π38＝π24，故选A.]与面积有关的几何概型[探究问题]1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．2．在几何概型中，如果A为随机事件，若P(A)＝0，则A一定为不可能事件；若P(A)＝1，则A一定为必然事件，这种说法正确吗？提示：不正确．若随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件．如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．【例3】假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00.问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A)的概率是多少？[解]如图，送报人到达的时间是6：30～7：30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x轴表示报纸送到的时间，y轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x，y)是图中所示正方形中等可能的任意一点．事件A(父亲离开家前能拿到报纸)发生需x≤y，即正方形内阴影部分，事件A发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．μA＝12－12×12×12＝78，μn＝1,所以P(A)＝μAμn＝78.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值.此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式PA＝构成事件A的区域面积试验的全部结果构成的区域面积-6-计算事件的概率即可.3．(1)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4(2)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝x＋1，x≥0－12x＋1，x＜0的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16B.14C.38D.12(1)B(2)B[(1)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为π2，故此点取自黑色部分的概率为π24＝π8.故选B.(2)易知点C的坐标为(1,2)，点D的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD的面积为6，阴影部分的面积为32，故所求概率为14.]1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.-7-1．思考辨析(1)从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到1的概率概型是几何概型．()(2)从区间[－10,10]内任取一个数，求取到大于等于1且小于等于5的数的概率模型是几何概型．()(3)从一个边长为4cm的正方形ABCD内任取一点P，求点P离中心不超过1cm的概率模型是几何概型．()(4)几何概型中每个结果发生的可能性都相等．()[解析](1)×，是古典概型．(2)√，可能出现的结果有无限个，且每个结果出现的可能性相等．(3)√，符合几何概型的特征．(4)√，由几何概型的特点可知．[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．在500mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为()A．0B．0.002C．0.004D．1C[由几何概型公式得：P＝2500＝0.004.]3.如图所示，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任做一条射线OA，射线OA落在∠xOT内的概率为________．16[记B＝{射线OA落在∠xOT内}，∵∠xOT＝60°，∴P(B)＝60°360°＝16.]4．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min长的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了．该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？[解]记A＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A的发生就是在0min到23min之间的时间段内按错键，P(A)＝2330＝145.-8-