2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.1 基本不等式讲义

12.2基本不等式最新课程标准：掌握基本不等式ab≤a＋b2(a，b≥0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.知识点基本不等式(1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)基本不等式：ab≤a＋b2(a0，b0)，当且仅当a＝b时，等号成立．其中a＋b2和ab分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数．状元随笔基本不等式ab≤a＋b2(a，b∈R＋)的应用：(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a0，b0，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤M24，当且仅当a＝b时等号成立．即：a＋b＝M，M为定值时，(ab)max＝M24.(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a0，b0，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，当且仅当a＝b时等号成立．[基础自测]1．已知a，b∈R，且ab0，则下列结论恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD.ba＋ab≥2解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab0，所以ba0，ab0，所以ba＋ab≥2ba·ab，即ba＋ab≥2成立．答案：D2．若a1，则a＋1a－1的最小值是()2A．2B．aC.2aa－1D．3解析：a1，所以a－10，所以a＋1a－1＝a－1＋1a－1＋1≥2a－1·1a－1＋1＝3.当且仅当a－1＝1a－1即a＝2时取等号．答案：D3．下列不等式中，正确的是()A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4abC.ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥23解析：a0，则a＋4a≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b24ab，故B错，a＝4，b＝16，则aba＋b2，故C错误；由基本不等式可知D项正确．答案：D4．已知x，y都是正数．(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．解析：(1)x＋y≥2xy＝215，即x＋y的最小值是215；当且仅当x＝y＝15时取最小值．(2)xy≤x＋y22＝1522＝2254，即xy的最大值是2254.当且仅当x＝y＝152时xy取最大值．答案：(1)215(2)22543第1课时基本不等式题型一对基本不等式的理解[经典例题]例1(1)下列不等式中，不正确的是()A.a2＋b2≥2|a||b|B.a2b≥2a－b(b≠0)C.ab2≥2ab－1(b≠0)D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2(2)给出下列命题：①若x∈R，则x＋1x≥2；②若a0，b0，则ab＋1ab≥2；③不等式yx＋xy≥2成立的条件是x0且y0.其中正确命题的序号是________．【解析】(1)A中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，所以A正确．由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2.B中，当b0时，a2b≤2a－b，所以B不正确．C中，b≠0，则ab2≥2ab－1，所以C正确．D中，由a2＋b2≥2ab，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以D正确．1．举反例、基本不等式⇒逐个判断．2．明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断．【答案】(1)B【解析】(2)只有当x0时，才能由基本不等式得到x＋1x≥2x·1x＝2，故①错误；当a0，b0时，ab0，由基本不等式可得ab＋1ab≥2ab·1ab＝2，故②正确；由基本不等式可知，当yx0，xy0时，有yx＋xy≥2yx·xy＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误．基本不等式的两个关注点(1)正数：指式子中的a，b均为正数，(2)相等：即“＝”成立的条件．【答案】(2)②4跟踪训练1设0ab，则下列不等式中正确的是()A.ababa＋b2B．aaba＋b2bC．aabba＋b2D.abaa＋b2b解析：0ab⇒a2abb2⇒aabb,0ab⇒2aa＋b2b⇒aa＋b2b，又aba＋b2，所以aaba＋b2b.答案：B利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适当变形处理．题型二利用基本不等式求最值[教材P45例2]例2已知x，y都是正数，求证：(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.【证明】因为x，y都是正数，所以x＋y2≥xy.(1)当积xy等于定值P时，x＋y2≥P，所以x＋y≥2P，当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，和x＋y有最小值2P.(2)当和x＋y等于定值S时，xy≤S2，所以xy≤14S2，当且仅当x＝y时，上式等号成立．于是，当x＝y时，积xy有最大值14S2.积是定值，和有最小值．和是定值，积有最大值．教材反思1．利用基本不等式求最值的策略52．通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．特别提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件．跟踪训练2(1)已知x0，y0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A．16B．25C．9D．36(2)若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值()A．3B．4C.92D.112解析：(1)因为x0，y0，且x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋x＋y22＝9＋42＝25，因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取最大值25.(2)因为正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，所以x＋2y＋x＋2y22－8≥0.设x＋2y＝t0，所以t＋14t2－8≥0，所以t2＋4t－32≥0，即(t＋8)(t－4)≥0，所以t≥4，故x＋2y的最小值为4.答案：(1)B(2)B状元随笔1．展开(1＋x)(1＋y)⇒将x＋y＝8代入⇒用基本不等式求最值．62．利用基本不等式得x＋2y＋x＋2y22－8≥0⇒设x＋2y＝t0，解不等式求出x＋2y的最小值．易错点利用基本不等式求最值例若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C．5D．6【错解】由x＋3y＝5xy⇒5xy≥23xy，因为x0，y0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥1225.所以3x＋4y≥212xy≥212·1225＝245，当且仅当3x＝4y时取等号，故3x＋4y的最小值是245.错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致．【正解】由x＋3y＝5xy可得15y＋35x＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)15y＋35x＝95＋45＋3x5y＋12y5x≥135＋23x5y·12y5x＝135＋125＝5，当且仅当x＝1，y＝12时取等号，故3x＋4y的最小值是5.答案：C课时作业8一、选择题1．给出下列条件：①ab0；②ab0；③a0，b0；④a0，b0，其中能使ba＋ab≥2成立的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个7解析：当ba，ab均为正数时，ba＋ab≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．答案：C2．已知t0，则y＝t2－4t＋1t的最小值为()A．－1B．－2C．2D．－5解析：依题意得y＝t＋1t－4≥2t·1t－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝t2－4t＋1t(t0)的最小值是－2.答案：B3．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤12B．ab≥12C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3解析：∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，∴a2＋b2≥2.答案：C4．若a，b都是正数，则1＋ba1＋4ab的最小值为()A．7B．8C．9D．10解析：因为a，b都是正数，所以1＋ba1＋4ab＝5＋ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当b＝2a0时取等号．答案：C二、填空题5．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________．解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0时“＝”成立，此时a＝1.答案：a＝16．设a＋b＝M(a0，b0)，M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________．解析：因为a＋b＝M(a0，b0)，由基本不等式可得，ab≤a＋b22＝M24，8因为ab的最大值为2，所以M24＝2，M0，所以M＝22.答案：227．已知x0，y0，且1y＋3x＝1，则3x＋4y的最小值是________．解析：因为x0，y0，1y＋3x＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)1y＋3x＝13＋3xy＋12yx≥13＋3×2xy·4yx＝25(当且仅当x＝2y＝5时取等号)，所以(3x＋4y)min＝25.答案：25三、解答题8．已知x54，求f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值．解析：因为x54，所以4x－50,5－4x0.f(x)＝4x－5＋3＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－25－4x·15－4x＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x时等号成立，又5－4x0，所以5－4x＝1，x＝1.所以f(x)max＝f(1)＝1.9．已知函数f(x)＝4x＋ax(x0，a0)在x＝3时取得最小值，求a的值．解析：因为f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a，当且仅当4x＝ax，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为x＝3，所以a＝4×32＝36.9[尖子生题库]10．已知x∈0，12，求函数y＝1x＋81－2x的最小值．解析：y＝22x＋81－2x＝22x＋81－2x·(2x＋1－2x)＝10＋2·1－2x2x＋8·2x1－2x，而x∈0，12，2·1－2x2x＋8·2x1－2x≥216＝8，当且仅当2·1－2x2x＝8·2x1－2x，即x＝16∈0，12时取到等号，则y≥18，所以函数y＝1x＋81－2x的最小值为18.