2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.2 函数的表示法讲义 新人教

13.1.2函数的表示法最新课程标准：(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(2)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.知识点一函数的表示法状元随笔1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.知识点二分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．状元随笔1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝1，－2≤x≤0，x，0x≤3，其“段”是不等长的．[教材解难]教材P68思考(1)三种表示方法的优缺点比较优点缺点解析一是简明、全面地概括了变量间的关系；不够形象、直观，而且并不是所有的函数2法二是可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值都可以用解析式表示列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系图象法直观形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图象研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大(2)并不是所有的函数都能用解析式表示(事实上，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝0，x∈Q，1，x∈∁RQ.列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段)．[基础自测]1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为()A．y＝2xB．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.答案：D2．已知函数f(x)＝1x＋1，x－1，x－1，x1，则f(2)等于()A．0B.13C．1D．2解析：f(2)＝2－1＝1.答案：C3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是()A．3x＋2B．3x＋1C．3x－1D．3x＋4解析：方法一令2x＋1＝t，则x＝t－12.∴f(t)＝6×t－12＋5＝3t＋2.∴f(x)＝3x＋2.3方法二∵f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2.∴f(x)＝3x＋2.答案：A4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1))的值为________．当g(f(x))＝2时，x＝________.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.答案：11题型一函数的表示方法[经典例题]例1(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))f(3)的x的值为________．x123f(x)2314【解析】(1)由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.【答案】(1)D由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律【解析】(2)由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))f(3)即为f(f(x))1.∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.【答案】(2)3或1观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较.方法归纳理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解析：(1)列表法：x/台12345678910y/元30006000900012000150001800021000240002700030000(2)图象法：如图所示．(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．状元随笔本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．题型二求函数的解析式[经典例题]例2根据下列条件，求函数的解析式：5(1)已知f1x＝x1－x2，求f(x)；(2)f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，求f(x)．【解析】(1)设t＝1x，则x＝1t(t≠0)，代入f1x＝x1－x2，得f(t)＝1t1－1t2＝tt2－1，故f(x)＝xx2－1(x≠0且x≠±1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．因为f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3.所以4a＋2b＋c＝－3，4a－2b＋c＝－7，c＝－3.解得a＝－12，b＝1，c＝－3.所以f(x)＝－12x2＋x－3.(1)换元法：设1x＝t，注意新元的范围．(2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax2＋bx＋c.跟踪训练2(1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________；(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.解析：(1)因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，所以f(x)＝x2－4(x≥2)．(2)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.所以a2＝4，ab＋b＝－1，解得a＝2，b＝－13或a＝－2，b＝1.所以f(x)＝2x－13或f(x)＝－2x＋1.答案：(1)f(x)＝x2－4(x≥2)(2)2x－13或－2x＋16(1)换元法设x2＋2＝t.(2)待定系数法设f(x)＝ax＋b.题型三求分段函数的函数值[经典例题]例3(1)设f(x)＝|x－1|－2|x|≤1，11＋x2|x|1，则ff12＝()A.12B.413C．－95D.2541(2)已知f(n)＝n－3，n≥10，ffn＋5，n10，则f(8)＝________.【解析】(1)∵f12＝12－1－2＝－32，∴ff12＝f－32＝11＋94＝413，故选B.判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解．(2)因为810，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))中，即f(8)＝f(f(13))．因为1310，所以代入f(n)＝n－3中，得f(13)＝10，故f(8)＝f(10)＝10－3＝7.【答案】(1)B(2)7方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．跟踪训练3已知f(x)＝x＋1x0，πx＝0，0x0，求f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1)))．解析：∵－10，∴f(－1)＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝π，7∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.根据不同的取值代入不同的解析式．题型四函数图象[教材P68例6]例4给定函数f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，x∈R，(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象；(2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}．例如，当x＝2时，M(2)＝max{f(2)，g(2)}＝max{3,9}＝9.请分别用图象法和解析法表示函数M(x)．【解析】(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象(图1)．(2)由图1中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象(图2)．由(x＋1)2＝x＋1，得x(x＋1)＝0.解得x＝－1，或x＝0.结合图2，得出函数M(x)的解析式为M(x)＝x＋12，x≤－1，x＋1，－1x≤0，x＋12，x0.状元随笔1.先在同一坐标系中画出f(x)、g(x)；2．结合图象，图象在上方的为较大者；3．写出M(x).教材反思(1)画一次函数图象时，只需取两点，两点定直线．(2)画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，先用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式其中h＝－b2a，k＝4ac－b24a，确定抛物线的开口方向(a0开口向上，a0开口向下)、对称轴(x＝h)和顶点坐标(h，k)，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．(3)求两个函数较大者，观察图象，图象在上方的为较大者．跟踪训练4作出下列函数的图象：8(1)y＝－x＋1，x∈Z；(2)y＝2x2－4x－3,0≤x3；(3)y＝|1－x|.解析：(1)函数y＝－x＋1，x∈Z的图象是直线y＝－x＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．(2)由于0≤x3，故函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x3之间的部分，如图(b)．(3)因为y＝|1－x|＝x－1，x≥1，1－x，x1，故其图象是由两条射线组成的折线，如图(c)．(2)先求对称轴及顶点，再注意x的取值(部分图象)．(3)关键是根据x的取值去绝对值．解题思想方法数形结合利用图象求分段函数的最值例求函数y＝|x＋1|＋|x－1|的最小值．【解析】y＝|x＋1|＋|x－1|＝－2x，x≤－1，2，－1x≤1，2x，x1.作出函数图象如图所示：由图象可知，x∈[－1,1]时，ymin＝2.【反思与感悟】(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．9一、选择题1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是()A．这天15时的温度最高B．这天3时的温度最低C．这天的最高温度与最低温度相差13℃D．这天21时的温度是30℃解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14℃，故C错．答案：C2．已知f(x－1)＝1x＋1，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝11＋xB．f(x)＝1＋xxC．f(x)＝1x＋2D．f(x)＝1＋x解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝1t＋1＋1＝12＋t，∴f(x)＝1x＋2.答案：C3．函数y＝x2|x|的图象的大致形状是()10解析：因为y＝x2|x|＝x，x0，－x，x0，所以函数的图象为选项A.答案：A4．已知函数f(x)＝2x，x0，x＋1，x≤0，且f(a)＋f(1)＝0，则a等于()A．－3B．－1C．1D．3解析：当a0时，f(a)＋f(1)＝2a＋