2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数讲义 新人教A版必修第

13．3幂函数最新课程标准：通过具体实例，结合y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．状元随笔幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．知识点二幂函数的图象与性质函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝1x定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上递增在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增在R上递增在(0，＋∞)上递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)状元随笔幂函数在区间(0，＋∞)上，当α0时，y＝xα是增函数；当α0时，y＝xα是减函数．2[教材解难]教材P90思考通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．[基础自测]1．在函数y＝1x4，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：函数y＝1x4＝x－4为幂函数；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．答案：B2．幂函数f(x)的图象过点(3，39)，则f(8)＝()A．8B．6C．4D．2解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图象过点(3，39)，可得39＝3α，∴α＝23，则幂函数f(x)＝x23，∴f(8)＝823＝4.答案：C3．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝()A．1B．2C．1或2D．3解析：∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.答案：A4．判断大小：0.20.2________0.30.2.3解析：因为函数y＝x0.2是增函数，又0.20.3，∴0.20.20.30.2.答案：题型一幂函数的概念[经典例题]例1(1)下列函数：①y＝x3；②y＝12x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a1)．其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为()A.1B．－3C．－1D．3(3)已知幂函数f(x)的图象经过点3，19，则f(4)＝_____.【解析】(1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以m2＋2m－2＝1，m0，所以m＝1.(3)设f(x)＝xα，所以19＝3α，α＝－2，所以f(4)＝4－2＝116.【答案】(1)B(2)A(3)116(1)依据幂函数的定义逐个判断．(2)依据幂函数的定义列方程求m.(3)先设f(x)＝xα，再将点(3，19)代入求α.4方法归纳(1)幂函数的判断方法①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．(2)求幂函数解析式的依据及常用方法①依据．若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．②常用方法．设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.跟踪训练1(1)给出下列函数：①y＝1x3；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝3x5；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝0.3x.其中是幂函数的有()A.1个B．2个C．3个D．4个(2)函数f(x)＝(m2－m－1)·x23mm＋－是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解析：(1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的六个函数中，只有y＝1x3＝x－3和y＝3x5＝x53符合幂函数的定义，是幂函数，其余四个都不是幂函数．(2)根据幂函数定义得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．故f(x)＝x3.答案：(1)B(2)f(x)＝x3(1)利用幂函数定义判断．(2)由幂函数的系数为1，求m的值，然后逐一验证．5题型二幂函数的图象及应用[经典例题]例2幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“”连接起来结果是________．【解析】过原点的指数α0，不过原点的α0，所以n0，当x1时，在直线y＝x上方的α1，下方的α1，所以p1，0m1，0q1；x1时，指数越大，图象越高，所以mq，综上所述nqmp.【答案】nqmp依据α0,0α1和α1的幂函数图象的特征判断．方法归纳解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x12或y＝x3)来判断．跟踪训练2当α∈－1，12，1，2，3时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第__________象限．解析：幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝x12的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限．所以幂函数y＝xαα＝－1，12，1，2，3的图象不可能经过第四象限．答案：四要先回忆幂函数的五种常见类型的图象与性质特点．题型三幂函数的单调性质及应用[教材P91例1]例3证明幂函数f(x)＝x是增函数．【证明】函数的定义域是[0，＋∞)．6∀x1，x2∈[0，＋∞)，且x1x2，有f(x1)－f(x2)＝x1－x2＝x1－x2x1＋x2x1＋x2＝x1－x2x1＋x2.因为x1－x20，x1＋x20，所以f(x1)f(x2)，即幂函数f(x)＝x是增函数.利用定义法证明幂函数的单调性．教材反思幂函数当α0时在第一象限单调递增，当α0时在第一象限单调递减．比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象．跟踪训练3比较下列各题中两个幂值的大小．(1)3.11.3与2.91.3；(2)1432与1332；(3)1213与3214.解析：(1)函数y＝x1.3在(0，＋∞)上为增函数，又因为3.12.9，所以3.11.32.91.3.(2)方法一函数y＝x32在(0，＋∞)上为减函数，又因为1413，所以14321332.方法二1432＝432，1332＝332.而函数y＝x32在(0，＋∞)上单调递增，且43，所以432332，即14321332.(3)因为1213120＝1；7而3214320＝1；所以12133214.(1)利用函数y＝x1.3的单调性来判断．(2)利用函数y＝x32的单调性来判断．(3)找中间量判断．一、选择题1．下列结论正确的是()A．幂函数图象一定过原点B．当α0时，幂函数y＝xα是减函数C．当α1时，幂函数y＝xα是增函数D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数解析：函数y＝x－1的图象不过原点，故A不正确；y＝x－1在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B不正确；函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C不正确．答案：D2．设α∈1，2，3，12，－1，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为()A．－1,3B．－1,1C．1,3D．－1,1,3解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1是常见的五个幂函数，显然y＝xα为奇函数时，α＝－1,1,3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，故α＝1,3.答案：C3．在下列四个图形中，y＝x12的图象大致是()8解析：函数y＝x12的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D.答案：D4．函数y＝x35在[－1,1]上是()A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数解析：由幂函数的性质知，当α0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x35在(0,1]上是增函数．设f(x)＝x35，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)35＝－x35＝－f(x)，所以f(x)＝x35是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以x∈[－1,0)时，y＝x35也是增函数．当x＝0时，y＝0，故y＝x35在[－1,1]上是增函数且是奇函数．答案：A二、填空题5．已知幂函数f(x)＝x21m－(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．解析：∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，∴m2－10，解得－1m1；∵图象关于原点对称，且m∈Z，∴m＝0，∴f(x)＝x－1.答案：f(x)＝x－16．已知2.4α2.5α，则α的取值范围是________．解析：∵02.42.5，而2.4α2.5α，∴y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α0.答案：α07．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：x1129f(x)122则不等式f(|x|)≤2的解集是________．解析：由表中数据知22＝12α，∴α＝12，∴f(x)＝x12，∴|x|12≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.答案：{x|－4≤x≤4}三、解答题8．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．解析：(1)∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－45.此时m2－m－1≠0，故m＝－45.(3)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，则m＝－25，此时m2－m－1≠0，故m＝－25.(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.9．比较下列各题中两个值的大小；(1)2.334，2.434；10(2)(2)32，(3)32；(3)(－0.31)65，0.3565.解析：(1)∵y＝x34为[0，＋∞)上的增函数，且2.32.4，∴2.3342.434.(2)∵y＝x32为(0，＋∞)上的减函数，且23，∴(2)32(3)32.(3)∵y＝x65为R上的偶函数，∴(－0.31)65＝0.3165.又函数y＝x65为[0，＋∞)上的增函数，且0.310.35，∴0.31650.3565，即(－0.31)650.3565.[尖子生题库]10．已知幂函数f(x)＝x21()mm－＋(m∈N*)经过点(2，2)，试确定m的值，