2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.1 指数讲义 新人教A版必修第

14．1指数最新课程标准：通过对有理数指数幂amn(a0，且a≠1；m，n为整数，且n0)、实数指数幂ax(a0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．知识点一n次方根及根式的概念1．a的n次方根的定义如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.2．a的n次方根的表示(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为na，a∈R.(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为±na，其中－na表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)．3．根式式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．状元随笔根式的概念中要求n1，且n∈N*.知识点二根式的性质(1)(na)n＝a(n∈R＋，且n1)；(2)nan＝an为奇数，且n1，|a|n为偶数，且n1.状元随笔(na)n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而nan中a∈R.知识点三分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)2负分数指数幂规定：amn＝1amn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)性质0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义2.有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s；(a0，r，s∈Q)(2)(ar)s＝ars；(a0，r，s∈Q)(3)(ab)r＝arbr.(a0，b0，r∈Q)3．无理数指数幂无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．[教材解难]1．教材P105思考可以，把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把3a2，b，4c5等写成下列形式：3a2＝a23(a0)，b＝b12(b0)，4c5＝c54(c0)．2．教材P108思考无理数指数幂23的含义：就是一串以3的不足近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂和另一串同样以3的过剩近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂无限逼近的结果，故23是一个确定的实数．[基础自测]1.π－42＋π等于()A．4B．2π－4C．2π－4或4D．4－2π解析：π－42＋π＝4－π＋π＝4.故选A.答案：A2．b4＝3(b0)，则b等于()3A．34B．314C．43D．35解析：因为b4＝3(b0)，∴b＝43＝314.答案：B3．下列各式正确的是()A.－32＝－3B.4a4＝aC．(3－2)3＝－2D.3－23＝2解析：由于－32＝3，4a4＝|a|，3－23＝－2，故选项A，B，D错误，故选C.答案：C4.8162514的值是________．解析：8162514＝6258114＝462581＝45434＝4534＝53.答案：53题型一利用根式的性质化简求值[经典例题]例1(1)下列各式正确的是()A.8a8＝aB．a0＝1C.4－44＝－4D.5－55＝－5(2)计算下列各式：①5－a5＝________.②63－π6＝________.4③614－3338－30.125＝________.【解析】(1)由于nan＝|a|，n为偶数，a，n为奇数，则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.(2)①5－a5＝－a.②63－π6＝6π－36＝π－3.③614－3338－30.125＝522－3323－3123＝52－32－12＝12.首先确定式子nan中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果．【答案】(1)D(2)①－a②π－3③12方法归纳根式化简或求值的策略(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．跟踪训练1求下列各式的值：(1)3－23；(2)4－32；(3)83－π8；(4)x2－2xy＋y2＋7y－x7.解析：(1)3－23＝－2；(2)4－32＝432＝3；(3)83－π8＝|3－π|＝π－3；(4)原式＝x－y2＋y－x＝|x－y|＋y－x.当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；当xy时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．5所以原式＝0，x≥y，2y－x，xy.由根式被开方数正负讨论x≥y，xy两种情况．题型二根式与分数指数幂的互化[经典例题]例2(1)将分数指数幂a34(a0)化为根式为________．(2)化简：(a2·5a3)÷(a·10a9)＝________.(用分数指数幂表示)．利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．①a3·3a2.②a－4b23ab2(a0，b0)．【解析】(1)a34＝1a34＝14a3(2)(a2·5a3)÷(a·10a9)＝(a2·a35)÷(a12·a910)＝a135÷a75＝a13755＝a65【答案】(1)14a3(2)a65(3)①a3·3a2＝a3·a23＝a23+3＝a113.②a－4b23ab2＝a－4b2·ab213＝a－4b2a13b23＝a－113b83＝a116b43.方法归纳根式与分数指数幂互化的方法及思路(1)方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指6数幂的运算性质解题．提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．跟踪训练2下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A.－x＝(－x)12(x0)B.6y2＝y13(y0)C．x34＝41x3(x0)D．x13＝－3x(x≠0)解析：－x＝－x12(x0)；6y2＝(y2)16＝－y13(y0)；x34＝(x－3)14＝41x3(x0)；x13＝1x13＝31x(x≠0)．答案：CA：－x先把x＝x12再加上－.B：注意y0.C：负指数次幂运算．题型三分数指数幂的运算与化简[教材P106例4]例3计算下列各式(式中字母均是正数)：(1)（2a23b12）（－6a12b13）÷（－3a16b56）；(2)（m14n3-8）8；(3)(3a2－a3)÷4a2.【解析】(1)（2a23b12）（－6a12b13）÷（－3a16b56）7＝[2×(－6)÷(－3)]a211+326b115236＝4ab0＝4a；(2)（m14n3-8）8＝m148n－388＝m2n－3＝m2n3；(3)(3a2－a3)÷4a2＝（a23－a32）÷a12＝a23÷a12－a32÷a12＝a2132－a3122＝a16－a＝6a－a.状元随笔①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减．教材反思利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．8跟踪训练3计算：(1)(－1.8)0＋32－2·33382－10.01＋93；(2)1412·4ab－130.1－2·a3b－312(a0，b0)．解析：(1)原式＝1＋232·27823－10＋932＝1＋232·322－10＋27＝29－10＝19.(2)原式＝412·0.12·23·a32·b－32a32·b－32＝2×1100×8＝425.状元随笔先把根式化为分数指数幂再运用指数幂的运算法则计算．一、选择题1．将3－22化为分数指数幂，其形式是()A．212B．－212C．212D．－212解析：3－22＝(－22)13＝(－2×212)13＝(－232)13＝－212.答案：B92．若a14(a－2)0有意义，则a的取值范围是()A．a≥0B．a＝2C．a≠2D．a≥0且a≠2解析：要使原式有意义，只需a≥0a－2≠0，∴a≥0且a≠2.答案：D3．化简－x3x的结果是()A．－－xB.xC．－xD.－x解析：依题意知x0，所以－x3x＝－－x3x2＝－－x.答案：A4．化简(36a9)4·(63a9)4的结果是()A．a16B．a8C．a4D．a2解析：(36a9)4·(63a9)4＝(6a9)43·(3a9)46＝(a96)43·(a93)23＝a9463·a9233＝a4.答案：C二、填空题5.614－3338＋30.125的值为________．解析：原式＝522－3323＋3123＝52－32＋12＝32.10答案：326．设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则14α＋β＝____________________.解析：由根与系数关系得α＋β＝－32，所以14α＋β＝1432＝(2－2)32＝23＝8.答案：87．若x2＋2x＋1＋y2＋6y＋9＝0，则(x2019)y＝________.解析：∵x2＋2x＋1＋y2＋6y＋9＝0，∴x＋12＋y＋32＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，∴x＝－1，y＝－3.∴(x2019)y＝[(－1)2019]－3＝(－1)－3＝－1.答案：－1三、解答题8．用分数指数幂的形式表示下列各式(a0，b0)：(1)a2a；(2)3a2·a3；(3)(3a)2·ab3；(4)a26a5.解析：(1)原式＝a2a12＝a12+2＝a52.(2)原式＝a23·a32＝a2332＝a136.(3)原式＝(a13)2·(ab3)12＝a23·a12b32＝a2132b32＝a76b32.(4)原式＝a2·a5-6＝a52-6＝a76.9．计算下列各式：(1)0.06413－－570＋[(－2)3]43＋16－0.75；11(2)9412－(－9.6)0－－27823＋(－1.5)－2；(3)－33823＋0.00212－10(5－2)－1＋(5－2)0.解析：(1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(2)原式＝32212－1－－32323＋－32－2＝32－1－－32－2＋－232＝12.(3)原式＝(－1)23·33823＋150012－105－2＋1＝27823＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.[尖子生题库]10．已知a12＋a12＝5，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2.解析：(1)将a12＋a12＝5两边平方，得a＋a－1＋2＝5，则a＋a－1＝3.(2)由a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，则a2＋a－2＝7.(3)设y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－412＝45，所以y＝±35，即a2－a－2＝±35.