2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.1 函数的应用（二）讲义

14.5函数的应用（二）最新课程标准：运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．4．5.1函数的零点与方程的解知识点一函数的零点1．零点的定义对于函数y＝f(x)，把f(x)＝0的实数x，叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程的根与函数零点的关系状元随笔函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．知识点二函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．状元随笔定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.[教材解难]1．教材P142思考能．先构造函数f(x)＝lnx＋2x－6，再判断函数f(x)是增函数，又f(2)＜0，f(3)＞0，∴方程lnx＋2x－6＝0的根在2,3之间．2[基础自测]1．函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是()A.23；23B.23，0；23C．－23；－23D.－23，0；－23解析：令3x－2＝0，则x＝23，∴函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标为23，0，函数零点为23.答案：B2．函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的一个区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：f(1)＝ln2－2＜0，f(2)＝ln3－1＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∴函数f(x)的一个零点区间为(1,2)．答案：B3．函数f(x)＝x3－x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．答案：D4．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．解析：由22－2a－b＝0，32－3a－b＝0，得a＝5，b＝－6∴g(x)＝－6x2－5x－1的零点是－12，－13.答案：－12，－133题型一函数零点的概念及求法例1(1)下列图象表示的函数中没有零点的是()(2)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．①f(x)＝－x2－4x－4.②f(x)＝4x＋5.③f(x)＝log3(x＋1)．【解析】(1)由图观察，A中图象与x轴没有交点，所以A中函数没有零点．(2)①令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数的零点为x＝－2.②令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0，即方程4x＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点．③令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数的零点为x＝0.【答案】(1)A(2)见解析状元随笔1.由函数图象判断函数是否有零点是看函数的图象与x轴是否有交点．2．求函数对应方程的根即为函数的零点．方法归纳函数零点的求法求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．解析：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a.题型二确定函数零点的个数[教材P143例1]例2求方程lnx＋2x－6＝0的实数解的个数．4【解析】设函数f(x)＝lnx＋2x－6，利用计算工具，列出函数y＝f(x)的对应值表(表)，并画出图象(图)．表xy1－42－1.306931.098643.386355.609467.791879.9459812.0794914.1972图由表和图可知，f(2)＜0，f(3)＞0，则f(2)f(3)＜0.由函数零点存在定理可知，函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2,3)内至少有一个零点．容易证明，函数f(x)＝lnx＋2x－6，x∈(0，＋∞)是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程lnx＋2x－6＝0只有一个实数解．状元随笔可以先借助计算工具画出函数y＝lnx＋2x－6的图象或列出x，y的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．教材反思判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象．根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．5(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．跟踪训练2(1)函数f(x)＝x－x－2的零点个数为()A．0B．1C．2D．3(2)判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点个数．解析：(1)令f(x)＝0得x－x－2＝0，设t＝x(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．故x＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．(2)令f(x)＝x－3＋lnx＝0，则lnx＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝lnx与y＝－x＋3的图象，如图所示：由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋lnx只有一个零点．答案：(1)B(2)一个状元随笔思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；思路二：画出函数图象，依据图象与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．题型三判断函数的零点所在的大致区间例3设x0是函数f(x)＝lnx＋x－4的零点，则x0所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【解析】因为f(2)＝ln2＋2－4＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3－1＞lne－1＝0，f(2)·f(3)＜0.由零点存在性定理，得x0所在的区间为(2,3)．【答案】C状元随笔根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析．方法归纳6判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3函数f(x)＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：f(2)＝22－1＋2－5＜0，f(3)＝23－1＋3－5＞0，故f(2)·f(3)＜0，又f(x)在定义域内是增函数，则函数f(x)＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：Cf(x)单调的条件下，利用f(a)·f(b)＜0求零点区间．解题思想方法数形结合思想例已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．解析：如图，由图象知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图象有三个交点，则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.答案：1【反思与感悟】求解这类问题可先将原式变形为f(x)＝g(x)，则方程f(x)＝g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解．课时作业25一、选择题1．下列函数不存在零点的是()7A．y＝x－1xB．y＝2x2－x－1C．y＝x＋1x≤0，x－1x＞0D．y＝x＋1x≥0，x－1x＜0解析：令y＝0，得A中函数的零点为1，－1；B中函数的零点为－12，1；C中函数的零点为1，－1；只有D中函数无零点．答案：D2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0,2B．0，12C．0，－12D．2，－12解析：∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．∴零点为0和－12.答案：C3．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为()A.14，12B.18，14C.0，18D.12，1解析：因为f14＝π4＋log214＜0，f12＝π2＋log212＞0，所以f14·f12＜0，故函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为14，12.答案：A4．已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x＞0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：本题主要考查函数的零点及函数的图象．g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点等价于函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x＞0与h(x)＝－x－a的图象存在2个交点，如图，8当x＝0时，h(0)＝－a，由图可知要满足y＝f(x)与y＝h(x)的图象存在2个交点，需要－a≤1，即a≥－1.故选C.答案：C二、填空题5．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．解析：方法一∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f(8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0，又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上的图象是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．方法二令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在6．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x＞0零点的个数为________．解析：x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得：x＝－3.x＞0时，f(x)＝lnx－2在(0，＋∞)上递增，f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0，∵f(1)f(e3)＜0，∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．总之，f(x)在R上有2个零点．答案：27．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a＜0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________．解析：由题意f(1)·f(0)＜0.∴a(2＋a)＜0.∴－2＜a＜0.答案：(－2,0)三、解答题8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．9(1)f(x)＝x＋3x；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.解析：(1)令x＋3x＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝x＋3x的零点是－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点.(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.9．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．解析：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2