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14.5.2用二分法求方程的近似解4.5.3函数模型的应用知识点一用二分法求方程的近似解1．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε.第二步：求区间(a，b)的中点c.第三步：计算f(c)．(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四步．状元随笔二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．知识点二常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a＞1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a＞1)表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大，函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型2幂函数y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．状元随笔函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．[教材解难]教材P149思考因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况．[基础自测]1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是()解析：根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、D都符合条件，而选项C不符合，因为图象在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．答案：C2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()A．0.6B．0.75C．0.7D．0.8解析：已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]．又0.68＝0.64＋0.722，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，因为|0.68－0.72|＝0.04＜0.1，因此所求函数的一个3正实数零点的近似值约为0.7，故选C.答案：C3．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·ex＋bD．y＝alnx＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B4．已知函数y＝f(x)在区间(2,4)上连续，验证f(2)·f(4)＜0，取区间(2,4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点所在的区间为________．解析：∵f(2)·f(3)＜0，∴零点在区间(2,3)内．答案：(2,3)题型一二分法概念的理解[经典例题]例1(1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是()A．y＝x＋7B．y＝5x－1C．y＝log3xD．y＝12x－x(2)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()【解析】(1)A×解方程x＋7＝0，得x＝－7B×解方程5x－1＝0，得x＝0C×解方程log3x＝0，得x＝14D√无法通过方程12x－x＝0得到零点(2)利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．【答案】(1)D(2)B状元随笔(1)在无法通过解方程f(x)＝0求出方程根的情况下，需用二分法求函数的零点．(2)可以用二分法求出的零点左右函数值异号.方法归纳二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．跟踪训练1用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．解析：设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2＜0，f(3)＝10＞0，f(2)＝3＞0，f(x)零点所在的区间为(1,2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1,2)．答案：(1,2)状元随笔先构建函数f(x)＝2x＋3x－7，再判断f(1)，f(2)，f(3)的符号，寻找函数值与f(2)异号的自变量．题型二用二分法求函数零点的近似值例2用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点．(精确度0.01)【解析】经计算f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)＜0，因为f(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)，如此继续下去，如下表：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.25－0.30(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.3125－0.05(1.3125,1.375)1.343750.08(1.3125,1.34375)1.3281250.015(1.3125,1.328125)1.3203125－0.02因为|1.328125－1.3203125|＝0.0078125＜0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328125.状元随笔方程x3－x－1＝0的正解对应函数f(x)＝x3－x－1的图象与x轴正半轴交点的横坐标，确定出解的初始区间，利用二分法求出近似解.方法归纳(1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．②取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．(2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区间，找中点，中值计算两边看．同号丢，异号算，零点落在异号间．重复做，何时止，精确度来把关口．跟踪训练2利用计算器求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度0.1)．【解析】设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，又f(x)在(2,3)内递增，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根，记为x0.取区间(2,3)的中点x1＝2.5，∵f(2.5)＝0.25＞0，∴x0∈(2,2.5)．再取区间(2,2.5)的中点x2＝2.25，∵f(2.25)＝－0.4375＜0，∴x0∈(2.25,2.5)．同理可得，x0∈(2.375,2.5)，x0∈(2.375,2.4375)．∵|2.375－2.4375|＝0.0625＜0.1，故方程x2－2x－1＝0的一个精确度为0.1的近似正解可取为2.4375.状元随笔本题用求根公式可以求得x1＝1＋2，x2＝1－2，取精确到0.1的近似值是x1≈2.4，x2≈－0.4.这与用二分法所得结果相同．题型三函数模型的选择问题[教材P152例6]例3某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？【解析】借助信息技术画出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(图61)．观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．图1下面通过计算确认上述判断．先计算哪个模型的资金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上单调递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1000]上单调递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上单调递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有y≤0.25x，即log7x＋1≤0.25x成立．令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1000]，利用信息技术画出它的图象(图2)．图2由图象可知函数f(x)在区间[10,1000]上单调递减，因此f(x)≤f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以，当x∈[10,1000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．7状元随笔本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10,1000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x.不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.教材反思数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．跟踪训练3某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月