2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4.2.1 正弦函数、余弦函数的周期性与

1第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性知识点一周期函数1．周期函数条件①对于函数f(x)，存在一个非零常数T②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)结论函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期2.最小正周期条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期状元随笔关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C，对于任意非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期．(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B，y＝Acos(ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝2π|ω|求最小正周期．知识点二正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数状元随笔关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式．[教材解难]1．教材P202思考函数的周期性与解析式中x的系数有关．22．教材P202思考知道了一个函数的周期性和奇偶性能更容易画出函数的图象，从而得到函数的性质．[基础自测]1．下列函数中，周期为π2的是()A．y＝sinx2B．y＝sin2xC．y＝cosx4D．y＝cos4x解析：对于A，T＝2π12＝4π，对于B，T＝2π2＝π，对于C，T＝2π14＝8π，对于D，T＝2π4＝π2.答案：D2．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：由于x∈R，且f(－x)＝sinx＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故选A.答案：A3．下列函数中是偶函数的是()A．y＝sin2xB．y＝－sinxC．y＝sin|x|D．y＝sinx＋1解析：A、B是奇函数，D是非奇非偶函数，C符合f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，∴y＝sin|x|是偶函数．答案：C4．函数y＝sinπ2－x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线x＝π2对称解析：因为y＝sinπ2－x＝cosx，3又因为cos(－x)＝cosx，为偶函数，所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y轴对称．答案：B题型一求三角函数的周期[教材P201例2]例1求下列函数的周期：(1)y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos2x，x∈R；(3)y＝2sin12x－π6，x∈R.【解析】(1)∀x∈R，有3sin(x＋2π)＝3sinx.由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.(2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cosz的周期为2π，即cos(z＋2π)＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos2x，所以cos2(x＋π)＝cos2x，x∈R.由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.(3)令z＝12x－π6，由x∈R得z∈R，且y＝2sinz的周期为2π，即2sin(z＋2π)＝2sinz，于是2sin12x－π6＋2π＝2sin12x－π6，所以2sin12x＋4π－π6＝2sin12x－π6.由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.状元随笔通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式f(x＋T)＝f(x)而求出相应的周期．对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos2(x＋T)＝cos2x，x∈R；对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin12x＋T－π6＝sin12x－π6，x∈R.教材反思求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，4且A≠0，ω0)，可利用T＝2πω来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．跟踪训练1(1)下列函数中，不是周期函数的是()A.y＝|cosx|B．y＝cos|x|C．y＝|sinx|D．y＝sin|x|(2)函数y＝2sinx3－π6的周期为________．解析：(1)画出y＝sin|x|的图象，易知y＝sin|x|不是周期函数．(2)方法一因为2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6，即2sin13x＋6π－π6＝2sinx3－π6.所以y＝2sinx3－π6的最小正周期是6π.方法二函数的周期T＝2π|ω|＝2π13＝6π.答案：(1)D(2)6π(1)作出函数的图象，根据周期的定义判断．(2)利用周期的定义，需要满足f(x＋T)＝f(x)；也可利用公式T＝2π|ω|计算周期．题型二正、余弦函数的奇偶性问题[经典例题]例2判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝cos2x＋5π2；(2)f(x)＝sin(cosx)．【解析】(1)函数的定义域为R.且f(x)＝cosπ2＋2x＝－sin2x.因为f(－x)＝－sin(－2x)＝sin2x＝－f(x)，所以函数f(x)＝cos2x＋5π2是奇函数．(2)函数的定义域为R.且f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)，所以函数f(x)＝sin(cosx)是偶函数.5先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性．方法归纳利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意：若函数f(x)的定义域不关于原点对称，无论f(－x)与f(x)有何关系，f(x)仍然是非奇非偶函数．跟踪训练2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|sinx|＋cosx；(2)f(x)＝1－cosx＋cosx－1.解析：(1)函数的定义域为R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(2)由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．(1)利用定义法判断函数的奇偶性．(2)由偶次根式被开方数大于等于0求出cosx的值以及x的值，最后判断函数的奇偶性．题型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用[经典例题]例3定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，求f5π3的值．【解析】因为f(x)的最小正周期是π，所以f5π3＝f5π3－2π＝f－π3，因为f(x)是R上的偶函数，所以f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.利用周期性f5π3＝f53π－2π＝f－π3，再利用奇偶性f－π3＝fπ3，最后代入求值．6方法归纳三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asinωx(Aω≠0)或y＝Acosωx(Aω≠0)其中的一个．跟踪训练3若本例中函数的最小正周期变为π2，其他条件不变，求f－176π的值．解析：因为f(x)的最小正周期是π2，所以f－176π＝f－3π＋π6＝f－6×π2＋π6＝fπ6＝sinπ6＝12利用周期性f－176π＝f－3π＋π6＝fπ6代入求值．课时作业34一、选择题1．函数y＝－5cos(3x＋1)的最小正周期为()A.π3B．3πC.2π3D.3π2解析：该函数的最小正周期T＝2πω＝2π3.答案：C2．函数f(x)＝2sin2x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：因为f(x)的定义域是R，且f(－x)＝2sin2(－x)＝－2sin2x＝－f(x)，7所以函数f(x)为奇函数．答案：A3．函数f(x)＝sin20112π－2010x是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：f(x)＝sin20112π－2010x＝sinπ2－2010x＋1005π＝－sinπ2－2010x＝－cos2010x，f(x)定义域为R，且f(－x)＝－cos(－2010x)＝－cos2010x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．答案：B4．函数f(x)＝xsinπ2－x()A．是奇函数B．是非奇非偶函数C．是偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：由题，得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)＝xsinπ2－x＝xcosx，所以f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．答案：A二、填空题5．f(x)＝sinxcosx是________(填“奇”或“偶”)函数．解析：x∈R时，f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，即f(x)是奇函数．答案：奇6．函数y＝cos1－xπ2的最小正周期是________．解析：∵y＝cos－π2x＋π2，∴T＝2ππ2＝2π×2π＝4.答案：47．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，则f(8)＝________.解析：∵f(x)的周期为2，8∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(8)＝f(2＋3×2)＝f(2)＝3.答案：3三、解答题8．求下列函数的最小正周期：(1)y＝cos－2x＋π6；(2)y＝|sinx2|.解析：(1)利用公式T＝2π|ω|，可得函数y＝cos－2x＋π6的最小正周期为T＝2π|－2|＝π.(2)易知函数y＝sinx2的最小正周期为T＝2π12＝4π，而函数y＝sinx2的图象是由函数y＝sinx2的图象将在x轴下方部分翻折到上方后得到的，此时函数周期减半，即y＝sinx2的最小正周期为2π.9．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3cos2x；(2)f(x)＝sin3x4＋3π2；(3)f(x)＝x·cosx.解析：(1)因为x∈R，f(－x)＝3cos(－2x)＝3cos2x＝f(x)，所以f(x)＝3cos2x是偶函数．(2)因为x∈R，f(x)＝sin3x4＋3π2＝－cos3x4，所以f(－x)＝－cos3－x4＝－cos3x4＝f(x)，所以函数f(x)＝sin3x4＋3π2是偶函数．(3)因为x∈R，f(－x)＝－x·cos(－x)＝－x·cosx＝－f(x)，所以f(x)＝xcosx是奇函数．[尖子生题库]10．已知函数y＝12cosx＋12|cosx|.(1)画出函数的图象；9(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．解析：(1)y＝12cosx＋12|cosx|＝cosx，x∈2kπ－π2，2kπ＋π2k∈Z，0，x∈2kπ＋π2，2kπ＋3π2k∈Z，函数图象如图所示．(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.