2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.7 三角函数的应用讲义 新人教A版必修第

15.7三角函数的应用最新课程标准：会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.知识点一函数y＝Asin(ωx＋φ)，A0，ω0中各参数的物理意义知识点二三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．知识点三三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．状元随笔解答三角函数应用题应注意四点(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．(2)在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．2[教材解难]教材P248思考不对．因为这条船停止后还需0.4h，若在P点停止，再经0.4h后船驶出安全水深．[基础自测]1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sint2(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()A．[0,5]B．[5,10]C．[10,15]D．[15,20]解析：由2kπ－π2≤t2≤2kπ＋π2，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.答案：C2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin2t＋π6，s2＝5cos2t－π3.则在时间t＝2π3时，s1与s2的大小关系是()A．s1s2B．s1s2C．s1＝s2D．不能确定解析：当t＝2π3时，s1＝－5，s2＝－5，所以s1＝s2.答案：C3．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将传播至()A．甲B．乙C．丙D．丁3解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C.答案：C4．简谐振动y＝12sin4x＋π6的频率和相位分别是________．解析：简谐振动y＝12sin4x＋π6的周期是T＝2π4＝π2，相位是4x＋π6，频率f＝1T＝2π.答案：2π，4x＋π6题型一三角函数在物理中的应用例1已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为：h＝3sin2t＋π4.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；(3)经过多长时间小球往返振动一次？(4)每秒内小球能往返振动多少次？【解析】(1)令t＝0，得h＝3sinπ4＝322，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322cm处．(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为π8，即小球第一次上升到最高点的时间为π8s.当h＝－3时，t的最小值为5π8，即小球第一次下降到最低点的时间为5π8s.(3)T＝2π2＝π，即经过约πs小球往返振动一次．(4)f＝1T＝1π，即每秒内小球往返振动1π次.令t＝0解1→令h＝±3解2→问题3即求周期T→问题4即求频率fT的倒数方法归纳处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意4义并与对应的三角函数知识结合解题．跟踪训练1已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋∞)．用“五点法”做出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？解析：列表如下，t0π12π37π125π62t＋π3π3π2π3π22πsin2t＋π33210－10s2340－40描点、连线，图象如图所示．(1)将t＝0代入s＝4sin2t＋π3，得s＝4sinπ3＝23，所以小球开始振动时的位移是23cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系．题型二三角函数在实际生活中的应用[教材P245例2]例2海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报.时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m50：005.09：182.518：365.03：067.512：245.021：422.56：125.015：307.524：004.0(1)选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值(精确0.001m)．(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？(3)某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船这一天在2：00开始卸货，吃水深度以0.3m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4h才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域？【解析】(1)以时间x(单位：h)为横坐标，水深y(单位：m)为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图1)．根据图象，可以考虑用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：A＝2.5，h＝5，T＝12.4，φ＝0；由T＝2πω＝12.4，得ω＝5π31.所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数y＝2.5sin5π31x＋5近似描述．由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值(表)：时刻0：001：002：003：004：005：006：007：008：009：0010：0011：00水深/m5.0006.2137.1227.4977.2456.4285.2534.0143.0232.5292.6563.372时刻12：0013：0014：0015：0016：0017：0018：0019：0020：0021：0022：0023：00水深/m4.4975.7486.8127.4207.4206.8125.7484.4973.3722.6562.5293.0236(2)货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5m，所以当y≥5.5时就可以进港．令2．5sin5π31x＋5＝5.5，sin5π31x＝0.2.由计算器可得0.2013579208≈0.2014.如图2，在区间[0,12]内，函数y＝2.5sin5π31x＋5的图象与直线y＝5.5有两个交点A，B，因此5π31x≈0.2014，或π－5π31x≈0.2014.解得xA≈0.3975，xB≈5.8025.由函数的周期性易得：xC≈12.4＋0.3975＝12.7975，xD≈12.4＋5.8025＝18.2025.因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．(3)设在xh时货船的安全水深为ym，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)．在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6～8时之间两个函数图象有一个交点(图3)．借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为(7.016,3.995)，因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.7状元随笔观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，根据表中的数据画出散点图，如图1.从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如y＝Asin(ωx＋φ)＋h的函数来刻画，其中x是时间，y是水深．根据数据可以确定A，ω，φ，h的值．教材反思解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式；(2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？解析：(1)由已知可设y＝40.5－40cosωt(t≥0)，由已知周期为12分钟，可知ω＝2π12，即ω＝π6.所以y＝40.5－40cosπ6t(t≥0)．(2)令y＝40.5－40cosπ6t＝60.5，得cosπ6t＝－12，所以π6t＝23π或π6t＝43π，解得t＝4或t＝8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20(分钟)．(1)由已知可得解析式．8(2)利用y＝60.5解t.题型三根据数据拟合函数例3某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据.t/小时03691215182124y/米10.013.09.97.010.013.09.97.010.0经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asinωt＋b的图象．(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式．(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?【解析】(1)由已知数据，描出曲线如图：易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，∴ω＝2πT＝π6，∴y＝3sinπ6t＋10.(0≤t≤24)(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，由y≥11.5，得3sinπ6t＋10≥11.5，∴sinπ6t≥12.①∵0≤t≤24，∴0≤π6t≤4π.②由①②得π6≤π6t≤5π6或13π6≤π6t≤17π6.化简得1≤t≤5或13≤t≤17.∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时.由表格画出曲线图，由图可求A，b，由周期T可求ω，即求y＝Asinωt＋b.方法归纳在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤(1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；9(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．跟踪训练3已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(x)的图象可近似地看成是函数y＝Acosωt＋