2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件讲义 新

11.4充分条件与必要条件最新课程标准：(1)通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(2)通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(3)通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.知识点一充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件(sufficientcondition)，q是p的必要条件(necessarycondition)．状元随笔如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p q．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．知识点二充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件(sufficientandnecessarycondition)．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．状元随笔p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．[教材解难]1．教材P17思考(1)(4)是真命题，(2)(3)是假命题．2．教材P18思考不唯一，两组对边分别平行，一组对边平行且相等．3．教材P19思考不唯一，两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等．4．教材P20思考命题(1)(4)和它的逆命题是真命题．2命题(2)是真命题，它的逆命题是假命题．命题(3)是假命题，它的逆命题是真命题．5．教材P21探究“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件．[基础自测]1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件．答案：B2．设p：x3，q：－1x3，则p是q成立的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：因为(－1,3)(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．答案：C3．设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A、B是两个集合，则由“A∩B＝A”可得“A⊆B”，由“A⊆B”可得“A∩B＝A”，所以A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.答案：C4．用符号“⇒”与“”填空：(1)x21________x1；(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．解析：(1)命题“若x21，则x1”是假命题，故x21x1.(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数．答案：(1)(2)⇒3题型一充分条件、必要条件、充要条件的判断[教材P18例1、P19例2]例1(1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；④若x2＝1，则x＝1；⑤若a＝b，则ac＝bc；⑥若x，y为无理数，则xy为无理数．(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边对应成比例；③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；④若x＝1，则x2＝1；⑤若ac＝bc，则a＝b；⑥若xy为无理数，则x，y为无理数．【解析】(1)①这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．②这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．③这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．④由于(－1)2＝1，但－1≠1，pq，所以p不是q的充分条件．⑤由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件．⑥2为无理数，但2×2＝2为有理数，pq，所以p不是q的充分条件．p⇒q由充分条件的定义来判断．(2)①这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件．②这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件．4③如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，pq，所以，q不是p的必要条件．④显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件．⑤由于(－1)×0＝1×0，但－1≠1，pq，所以，q不是p的必要条件．⑥由于1×2＝2为无理数，但1，2不全是无理数，pq，所以，q不是p的必要条件.p⇒q由必要条件的定义来判断．教材反思充分条件、必要条件、充要条件的判断方法1．定义法(1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．(2)找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．(3)根据推式及条件得出结论．2．等价转化法(1)等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．(2)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若綈p⇒綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若綈p⇒綈q，且綈q綈p，则p是q的必要不充分条件；若綈p⇔綈q，则p与q互为充要条件；若綈p綈q，且綈q綈p，则p是q的既不充分也不必要条件．3．集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．4．传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．5．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．跟踪训练1指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)p：ab，q：a＋cb＋c.解析：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q5的充分不必要条件．(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．(3)ab⇒a＋cb＋c，且a＋cb＋c⇒ab，故p是q的充要条件．判断p⇒q，q⇒p是否成立→结合定义得出结论题型二求条件(充分条件、必要条件和充要条件)[经典例题]例2使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是()A．x≥0B．x0或x2C.x∈{－1,3,5}D．x≤－12或x≥3【解析】由2x2－5x－3≥0，得x≥3或x≤－12，所以选项中只有x∈{－1,3,5}是使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件．【答案】C先求出满足题意的充要条件―――――――→结合集合关系从选项中选出充分不必要条件方法归纳本题易错的地方是颠倒充分性和必要性，根据{x|x≥3或x≤－12}{x|x2或x0}，误选B.事实上，“不等式2x2－5x－3≥0成立”为结论q，我们只需找到条件p使p⇒q且qp即可．跟踪训练22x2－5x－30的必要不充分条件是()A．－12x3B．0x2C．－1x2D．－12x46解析：2x2－5x－30⇒－12x3，∵－12，3－12，4，∴－12x4是2x2－5x－30的必要不充分条件．答案：D使2x2－5x－30成立的x为－12x3，再求必要不充分条件．题型三充分条件、必要条件、充要条件的应用[经典例题]例3已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．【解析】令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝xx≤－12或x≥2；N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}，由已知p⇒q且qp，得MN.∴a－2≥－12，a2或a－2－12，a≤2，解得32≤a2或32a≤2，即32≤a≤2，即所求a的取值范围是32，2.状元随笔构造集合M＝{x|px}；N＝{x|qx}―――→求解M、N解得0a≤1.综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1.反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.7