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-1-§1周期现象§2角的概念的推广学习目标核心素养1.了解现实生活中的周期现象．2．了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点)3．掌握终边相同角的含义及其表示．(难点)4．会用集合表示象限角．(易错点)1.通过学习周期现象、任意角的概念，象限角的概念，体会数学抽象素养．2．通过终边相同的角的表示及象限角的表示，培养数学运算素养.1．周期现象(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间，这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．思考1：“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的特征？[提示]周而复始，重复出现．2．角的概念(1)角的有关概念(2)角的概念的推广类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角-2-负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，我们称这样的角为零度角，又称零角思考2：如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？[提示]不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．3．象限角的概念(1)前提条件①角的顶点与原点重合．②角的始边与x轴的非负半轴重合．(2)结论角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(3)终边相同的角及其表示所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}．如图所示：注意以下几点：①k是整数，这个条件不能漏掉．②α是任意角．③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．④终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．思考3：假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？[提示]它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与-3-60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．1．下列变化是周期现象的是()A．地球自转引起的昼夜交替变化B．随机数表中数的排列C．某交通路口每小时通过的车辆数D．某同学每天打电话的时间A[由周期现象的概念知A为周期现象．]2．下列说法正确的是()A．三角形的内角一定是第一、二象限角B．钝角不一定是第二象限角C．相差180°整数倍的角为终边相同的角D．钟表的时针旋转而成的角是负角D[A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．]3．－378°是第________象限角．()A．一B．二C．三D．四D[－378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角．]4．把－936°化为α＋k·360°(0°≤α360°，k∈Z)的形式为________．144°＋(－3)×360°[－936°＝－3×360°＋144°，故－936°化为α＋k·360°(0°≤α360°，k∈Z)的形式为144°＋(－3)×360°.]周期现象的判断【例1】(1)下列变化中不是周期现象的是()A．“春去春又回”B．钟表的分针每小时转一圈C．天干地支表示年、月、日的时间顺序D．某交通路口每次绿灯通过的车辆数(2)水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升．-4-(1)D[由周期现象的概念易知，某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期现象．故选D.](2)解：因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1920(升)．1．应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的．2．只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．1．如图所示是某人的心电图，根据这个心电图，请你判断其心脏跳动是否正常．[解]观察图像可知，此人的心电图是周期性变化的，因此心脏跳动正常．角的概念【例2】下列结论：①锐角都是第一象限角；②第二象限角是钝角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中，正确结论的序号为______．①[①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；②480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以②不正确；③0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③不正确．]判断角的概念问题的关键与技巧1关键：正确理解象限角与锐角，直角，钝角，平角，周角等概念.2技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.2．下列说法正确的是()-5-A．终边相同的角一定相等B．钝角一定是第二象限角C．第一象限角一定不是负角D．小于90°的角都是锐角B[终边相同的角不一定相等，故A不正确；钝角一定是第二象限角，故B正确；因－330°是第一象限角，所以C不正确；－45°90°，但它不是锐角，所以D不正确．]象限角的表示[探究问题]1．任意角都是象限角吗？为什么？[提示]不是．一些特殊角终边可能落在坐标轴上．如果角的终边在坐标轴上，这个角就不是象限角．2．象限角的表示．象限角角的集合表示第一象限角________第二象限角________第三象限角________第四象限角________[提示]象限角角的集合表示第一象限角{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°αk·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°αk·360°＋360°，k∈Z}【例3】已知α为第二象限角，问2α，α2分别为第几象限的角？[思路探究]由角α为第二象限角，可以写出α的范围：90°＋k·360°α180°＋k·360°(k∈Z)，在此基础上可以判断2α，α2的范围，进而可以判断出它们所在的象限．[解]∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°α180°＋k·360°(k∈Z)．∴180°＋2k·360°2α360°＋2k·360°(k∈Z)．∴2α是第三或第四象限角，以及终边落在y轴的负半轴上的角．同理，45°＋k2·360°α290°＋k2·360°(k∈Z)．-6-①当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)．则45°＋n·360°α290°＋n·360°(k∈Z)，此时α2为第一象限角；②当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)．则225°＋n·360°α2270°＋n·360°(n∈Z)．此时α2为第三象限角．综上可知，α2为第一或第三象限角．1．(变结论)在本例条件下，求角2α的终边的位置．[解]∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°αk·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°2αk·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．2．(变条件)若角α变为第三象限角，则角α2是第几象限角？[解]如图所示，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有“三”的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．倍角、分角所在象限的判定思路1已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况2已知角α终边所在的象限，确定αn终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论.几何法依据数形结合思想，简单直观.-7-终边相同的角[探究问题]3．在同一坐标系中作出390°，－330°，30°的角并观察这三个角终边之间的位置关系，角的大小关系．[提示]如图所示，三个角终边相同，相差360°的整数倍．4．对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？[提示]所有与角α终边相同的角连同α在内，可以构成一个集合，S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角整数倍的和．【例4】已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ0°.[思路探究]利用终边相同的角的关系α＝β＋k·360°，k∈Z.求解．[解](1)－1910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.3.(变条件)若将例题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？[解]在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：150°≤α≤225°，则满足条件的角α为{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．4．(变条件)若将例题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集-8-合如何表示？[解]由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}．即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}．1．终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°～360°范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简捷．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．3．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某同学每天上学的时间是周期现象．()-9-(2)第三象限角一定比钝角大．()(3)始边相同，终边不同的角一定不相等．()(4)始边相同，终边也相同的角一定相等．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．下列现象不是周期现象的是()A．钟摆摆心偏离铅垂线角度的变化B．游乐场中摩天轮的运行C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数D．太阳的东升西落C[A，B，D所述都是周期现象，而C中“向上的数字是奇数”不是周期现象．]3．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B