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-1-5．1正弦函数的图像学习目标核心素养1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法．(重点)2．掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤，能用“五点法”作出简单的正弦曲线．(难点)1.通过学习利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法，体会数学抽象素养．2．通过用“五点法”作出简单的正弦曲线，提升直观想象素养.1．正弦线如图所示，设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O相交于点P(x，y)，过P点作x轴的垂线，垂足为M.我们称MP为角α的正弦线，P叫正弦线的终点．思考1：在正弦线的定义中MP也可以写成PM的形式吗？正弦线是一条线段，这种判断对吗？[提示]MP不能写成PM的形式，因为正弦线是有向线段，既有大小又有方向．2．在函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．描出这五个点后，函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图．-2-思考2：描点法作函数的图像有哪几个步骤？[提示]列表、描点、连线．1．对于正弦函数y＝sinx的图像，下列说法错误的是()A．向左、右无限延展B．与y＝－sinx的图像形状相同，只是位置不同C．与x轴有无数个交点D．关于y轴对称D[y＝sinx为奇函数，关于原点对称，故D错误．]2．y＝sinx的图像的大致形状为()[答案]B3．用五点法画y＝sinx，x∈[0,2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．5π[0＋π2＋π＋3π2＋2π＝5π.]4．函数y＝sinx在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．π2，3π21[由正弦函数的图像(图略)可知．]“五点法”作图【例1】用五点法作函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的图像．[解](1)列表：-3-x0π2π3π22πsinx010－101－sinx10121(2)描点、连线，图像如图．1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x取0，π2，π，3π2，2π，然后相应求出y值，再作出图像．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．1．(1)作出函数y＝2sinx(0≤x≤2π)的图像；(2)用五点法画出函数y＝sin2x(0≤x≤π)的图像．[解](1)列表：x0π2π3π22πsinx010－102sinx020－20描点作图：(2)列表：x0π4π23π4π2x0π2π3π22π-4-sin2x010－10描点得y＝sin2x(0≤x≤π)的简图，如图：利用正弦函数图像解不等式【例2】利用y＝sinx的图像，在[0,2π]内求满足sinx≥－12的x的取值范围．[解]列表：x0π2π3π22πsinx010－10描点，连线如图，同时作出直线y＝－12的图像．由图像可得sinx≥－12的取值范围为0，7π6∪11π6，2π.用三角函数图像解三角不等式的方法(1)作出相应正弦函数在[0,2π]上的图像；(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；(3)根据图像写出不等式的解集．2．利用正弦函数的图像，求满足sinx≥12的x的集合．[解]作出正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像，如图所示，由图像可以得到满足条件的x的集合为π6＋2kπ，5π6＋2kπ，k∈Z.-5-正弦函数图像的应用[探究问题]1．若已知函数y＝f(x)的图像，如何作出函数y＝|f(x)|的图像？[提示]将函数y＝f(x)的x轴上方的图像保持不变，将x轴下方的图像关于x轴翻折到x轴上方即可．2．如何利用函数的图像判断该函数对应方程的解的个数？[提示]可以利用函数的图像与x轴的交点的个数判断．也可以将该函数对应的方程拆分成两个简单函数，利用这两个函数图像交点的个数判断．【例3】函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．[思路探究]在同一坐标系中，作出两个函数图像．[解]y＝3sinx，0≤x≤π，－sinx，πx≤2π.作出图像分析(如图)．∵f(x)图像与直线y＝k有且仅有两个不同交点．∴1k3.1．(变条件，变结论)将例3变为“求方程lgx＝sinx的实数解的个数”应如何求解．[解]作出y＝lgx，y＝sinx在同一坐标系内的图像，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数，由图像知方程有三个实根．2．(变结论)将例3中的函数f(x)不变，求方程“f(x)＝|log2x|”的解的个数，应如何求解．-6-[解]在同一坐标系内作出f(x)＝sinx＋2|sinx|和g(x)＝|log2x|的图像如图所示，易知f(x)与g(x)的图像有四个交点，故所给方程有四个根．数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化成形象直观的图形.利用正弦函数图像可解决许多问题，例如特殊方程根的问题，通常可转化为函数图像交点个数问题.1．“五点法”是我们画y＝sinx图像的基本方法，在区间[0,2π]上，其横坐标分别为0，π2，π，3π2，2π的五个点分别是最高点、最低点以及与x轴的交点，这五个点在确定函数的图像形状时起到关键作用，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再将曲线向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就得到正弦函数的简图．2．作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sinx在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．()(2)函数y＝sinx的图像介于直线y＝－1和y＝1之间．()(3)函数y＝sinx的图像关于x轴对称．()(4)用五点法画函数y＝sinx在区间[－π，π]上的简图时，－π2，－1是其中的一个关键点．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．函数y＝－sinx，x∈－π2，3π2的简图是()-7-D[函数y＝－sinx与y＝sinx的图像关于x轴对称，故选D.]3．在[0,2π]上，满足sinx≥22的x的取值范围为________．π4，3π4[结合图像(图略)可知为π4，3π4.]4．在[0,2π]内，用五点法作出函数y＝2sinx－1的图像．[解](1)列表：x0π2π3π22πsinx010－102sinx－1－11－1－3－1(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－1)，π2，1，(π，－1)，3π2，－3，(2π，－1)．(3)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y＝2sinx－1，x∈[0,2π]的简图，如图所示．