2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 7 7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像与

-1-7．1正切函数的定义7．2正切函数的图像与性质学习目标核心素养1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tanx的图像．2．掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．(重点)3．注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点).1.通过借助单位圆中的正切线画出函数y＝tanx的图像体会数学直观素养．2．通过学习正切函数的性质解决正切函数与正、余弦函数的综合问题提升数学运算素养.1．正切函数的定义(1)正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值ba叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)．(2)正切线如图所示，线段AT为角α的正切线．思考1：设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么ba何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？[提示]当a≠0时，ba有意义．tanα＝sinαcosαα∈R，α≠π2＋kπ，k∈Z.-2-2．正切函数的图像与性质图像性质定义域xx∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z值域R奇偶性奇函数周期性周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π单调性在－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z上是增加的对称性该图像的对称中心为kπ2，0，k∈Z思考2：能否说正切函数在整个定义域内是增函数？[提示]不能．正切函数y＝tanx在每段区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．1．若角α的终边上有一点P(2x－1,3)，且tanα＝15，则x的值为()A．7B．8C．15D.45B[由正切函数的定义知tanα＝32x－1＝15，解得x＝8.]2．函数y＝tanx的对称中心坐标为()A．(kπ，0)(k∈Z)B．kπ＋π2，0(k∈Z)C．kπ2，0(k∈Z)D．(2kπ，0)(k∈Z)C[y＝tanx的图像与x轴的交点以及x轴上使y＝tanx无意义的点都是对称中心．]3．函数y＝tan2x的定义域为________．xx≠kπ2＋π4，k∈Z[由正切函数的定义知，若使y＝tan2x有意义，则2x≠kπ＋π2(k∈Z)．解得x≠kπ2＋π4(k∈Z)．]-3-4．函数y＝tanx，x∈0，π4的值域是________．[0,1][函数y＝tanx在0，π4上是增加的，所以ymax＝tanπ4＝1，ymin＝tan0＝0.]正切函数的概念【例1】已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值．[解]r＝－4a2＋3a2＝5|a|，若a0，则r＝5a，角α在第二象限，sinα＝yr＝3a5a＝35，cosα＝xr＝－4a5a＝－45.tanα＝yx＝3a－4a＝－34；若a0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34.1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tanα＝ba.2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．1．角α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－35，求tanα的值．[解]由题意知cosα＝－bb2＋42＝－35，∴b＝±3.又cosα＝－350，∴P在第二象限，∴b＝3.∴tanα＝－43.正切函数的图像-4-【例2】作出函数y＝tan|x|的图像，判断函数的奇偶性及周期性．[思路探究]去掉绝对值号，先作出x≥0时的图像，再利用图像变换作出x0时的图像．[解]∵y＝tan|x|＝tanx，x≠kπ＋π2，x≥0，k∈Z，－tanx，x≠kπ＋π2，x0，k∈Z.∴当x≥0时，函数y＝tan|x|在y轴右侧的图像即为y＝tanx在y轴右侧的图像．当x0时，y＝tan|x|在y轴左侧的图像为y＝tanx在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示：由图像知，函数y＝tan|x|是偶函数，但不是周期函数．1．作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是－π4，－1，(0,0)，π4，1，两线是直线x＝±π2为渐近线．2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像．2．(1)函数y＝sinx与y＝tanx在区间－3π2，3π2上的交点个数是()A．3B．4C．5D．6-5-(2)函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间π2，3π2内的图像是图中的________．(填序号)①②③④(1)A(2)④[(1)如图，函数y＝sinx与y＝tanx在区间－3π2，3π2上的交点个数是3.(2)函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|＝2tanx，π2＜x≤π，2sinx，π＜x＜32π.]正切函数的性质[探究问题]1．如何判断函数的奇偶性．[提示]判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．2．函数y＝tanx的周期是多少？y＝|tanx|的周期呢？[提示]y＝tanx的周期是π，y＝|tanx|的周期也是π.【例3】已知f(x)＝－atanx(a≠0)．(1)判断f(x)在x∈－π3，π3上的奇偶性；(2)求f(x)的最小正周期．[思路探究](1)通过f(－x)与f(x)的关系判断奇偶性；(2)由正切函数图像的特点可判断函数的最小正周期．-6-[解](1)∵f(x)＝－atanx(a≠0)，x∈－π3，π3，∴f(－x)＝－atan(－x)＝atanx＝－f(x)．又定义域－π3，π3关于原点对称，∴f(x)为奇函数．(2)f(x)的最小正周期为π.1．(变条件)若将例3中的函数变为“f(x)＝－a|tanx|”则它的最小正周期是多少？[解]f(x)的最小正周期不变还是π.2．(变结论)例3中的条件不变，求f(x)的单调区间．[解]∵y＝tanx在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上单调递增，∴当a0时，f(x)在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上单调递减，当a0时，f(x)在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上单调递增．3．(变结论)例3中的条件不变，求f(x)在π4，π2上的值域．[解]当a0时，f(x)在π4，π2上单调递减，故x＝π4时，f(x)max＝－a，无最小值．∴f(x)的值域为(－∞，－a]．当a0时，f(x)在π4，π2上单调递增，当x＝π4时，f(x)min＝－a.无最大值．∴f(x)的值域为[－a，＋∞)．对于形如y＝Atanωx＋φA，ω，φ为非零常数的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解.如果ω0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解.-7-1．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－π2，x＝π2，然后描出三个点(0,0)，π4，1，－π4，－1，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．2．正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性质时应注意它们的区别．(1)正弦、余弦函数是有界函数，值域为[－1,1]，正切函数是无界函数，值域为R.(2)正弦、余弦函数的图像是连续的，定义域为R，正切函数的图像是不连续的，定义域为xx≠kπ＋π2，k∈Z.(3)正弦、余弦函数均是既有增区间又有减区间，而正切函数在每一个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上都是增加的.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数为定义域上的增函数．()(2)正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tanx是增函数．()(3)若x是第一象限的角，则y＝tanx是增函数．()(4)正切函数y＝tanx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．函数f(x)＝tanx＋π4的单调递增区间为()A．kπ－π2，kπ＋π2，k∈ZB．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC．kπ－3π4，kπ＋π4，k∈ZD．kπ－π4，kπ＋3π4，k∈ZC[由kπ－π2x＋π4kπ＋π2，k∈Z.解得kπ－3π4xkπ＋π4，故选C.]3．若角θ的终边经过点A－45，m，且tanθ＝34，则m＝________.-8-－35[由tanθ＝yx＝m－45＝34.∴m＝－35.]4．函数y＝tan(2x＋θ)图像的一个对称中心为π3，0，若－π2θπ2，求θ的值．[解]因为函数y＝tan(2x＋θ)的一个对称中心为π3，0，∴2·π3＋θ＝kπ2，k∈Z.∴θ＝kπ2－23π，k∈Z.又∵－π2θπ2，∴当k＝2时，θ＝π3；当k＝1时，θ＝－π6.∴满足题意的θ为π3或－π6.