2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质 第2

-1-第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质学习目标核心素养1.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性及最值的求法．(重点)2．理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性．(难点)1.通过求函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及最值，体会数学运算素养．2．通过理解函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性，体会直观想象素养.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质定义域R值域[－A，A]周期T＝2πω奇偶性φ＝kπ，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，φ＝kπ＋π2，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数对称轴方程由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得单调性递增区间由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)求得；递减区间由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π(k∈Z)求得思考：求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间应注意什么？[提示]对于y＝Asin(ωx＋φ)的单调性而言，A与ω的正负影响单调性，如果ω0，可以利用诱导公式sin(－α)＝－sinα将负号转化到函数符号外，再求相应单调区间．1．函数y＝2sin2x＋π6＋1的最大值是()A．1B．2-2-C．3D．4C[当2x＋π6＝2kπ＋π2时，即x＝kπ＋π6(k∈Z)时最大值为3.]2．函数y＝sin2x＋π6的最小正周期是()A．π2B．πC．2πD．4πB[由T＝2πω＝2π2＝π.故选B.]3．在下列区间中，使y＝sinx为增函数的是()A．[0，π]B．π2，3π2C．－π2，π2D．[π，2π]C[因为函数y＝sinx的单调递增区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，故当k＝0时，即为－π2，π2，故选C.]4．函数f(x)＝sinx－π4的图像的对称轴方程是_______________．x＝kπ＋3π4，k∈Z[由x－π4＝kπ＋π2解得x＝kπ＋3π4，k∈Z.]函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题【例1】求下列函数的最大值、最小值，以及取得最大值、最小值时相应x的集合．(1)y＝－3sin2x；(2)f(x)＝2sinωx＋π6－3(ω＞0)，最小正周期是π.[解](1)函数y＝－3sin2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3.令z＝2x，使函数y＝－3sinz，z∈R取得最大值的z的集合是zz＝－π2＋2kπ，k∈Z，则2x＝－π2＋2kπ，解得x＝－π4＋kπ，k∈Z.因此使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是xx＝－π4＋kπ，k∈Z.-3-同理，使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最小值的x的集合是xx＝π4＋kπ，k∈Z.(2)由T＝2πω＝π，得ω＝2，所以f(x)＝2sin2x＋π6－3，则函数f(x)的最大值为2－3＝－1，此时2x＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，则x＝kπ＋π6，k∈Z，即自变量x的取值集合是xx＝kπ＋π6，k∈Z；函数f(x)的最小值为－2－3＝－5，此时2x＋π6＝2kπ－π2，k∈Z，则x＝kπ－π3，k∈Z，即自变量x的取值集合是xx＝kπ－π3，k∈Z.求函数y＝Asinωx＋φ，x∈[m，n]的值域的步骤：1换元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；2作出y＝sinu注意u的取值范围的图像；3结合图像求出值域.1．求函数y＝2sin2x＋π3－π6≤x≤π6的最大值和最小值．[解]∵－π6≤x≤π6，∴0≤2x＋π3≤2π3，∴0≤sin2x＋π3≤1.∴当sin2x＋π3＝1时，ymax＝2；当sin2x＋π3＝0时，ymin＝0.函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性【例2】求函数y＝2sinπ4－x的递增区间．-4-[解]∵y＝2sinπ4－x＝－2sinx－π4，∴函数y＝2sinπ4－x的递增区间就是函数u＝－2sinx－π4的递减区间．∴2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)．得2kπ＋3π4≤x≤2kπ＋7π4(k∈Z)，∴函数y＝2sinπ4－x的递增区间为：2kπ＋3π4，2kπ＋7π4(k∈Z)．1．由已知条件确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式时，应注意利用函数的性质确定它的参数．2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，常视ωx＋φ为一个整体，通过y＝sinx的单调区间，求得函数的单调区间．当x的系数为负时，可用诱导公式将其化为正，再求单调区间．2．求函数y＝tan－12x＋π4的单调区间．[解]y＝tan－12x＋π4＝－tan12x－π4，由kπ－π2＜12x－π4＜kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－π2＜x＜2kπ＋3π2(k∈Z)，∴函数y＝tan－12x＋π4的单调递减区间是2kπ－π2，2kπ＋3π2(k∈Z)，无单调递增区间．函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用[探究问题]1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心和对称轴各有什么特点？-5-[提示]对称中心为图像与x轴的交点；对称轴为过其图像最高点或最低点与x轴垂直的直线．2．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω是常数，且ω0)，若f(x)是偶函数，则φ等于什么？若f(x)是奇函数，则φ等于什么？[提示]f(x)是偶函数⇒f(0)＝±1⇒φ＝π2＋kπ，k∈Z，f(x)是奇函数⇒f(0)＝0⇒φ＝kπ，k∈Z.3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点(x0,0)成中心对称意味着什么？[提示]意味着图像过点(x0,0)，即Asin(ωx0＋φ)＝0.【例3】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M3π4，0对称，且在区间0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．[思路探究]根据对称轴，对称中心的特征建立方程求解．[解]由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图像关于y轴对称，∴f(x)在x＝0时取得最值，即sinφ＝±1.依题知0≤φ≤π，解得φ＝π2.由f(x)的图像关于点M对称，可知sin3π4ω＋π2＝0，即3π4ω＋π2＝kπ，k∈Z，解得ω＝4k3－23，k∈Z.又f(x)在0，π2上是单调函数，∴T≥π，即2πω≥π，∴ω≤2.又ω0，∴当k＝1时，ω＝23；当k＝2时，ω＝2，∴φ＝π2，ω＝2或ω＝23.1．若将例3中的条件变为“函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，0φπ2的最大值为2，相邻的最高点与最底点的横坐标之差为3π，且过点(0，2)”，试求函数的解析式及单调增区间．[解]∵函数y＝Asin(ωx＋φ)的最大值为2，其相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π，-6-∴A＝2，T2＝3π，∴2πω＝6π，∴ω＝13，∴y＝2sin13x＋φ.又∵函数图像过点(0，2)，0φπ2，∴2sinφ＝2，∴φ＝π4，∴函数解析式为y＝2sin13x＋π4.由－π2＋2kπ≤13x＋π4≤π2＋2kπ，得－94π＋6kπ≤x≤34π＋6kπ(k∈Z)，∴单调增区间为－94π＋6kπ，34π＋6kπ.2．将例3中的条件变为“函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－πφ0)满足fπ4－x＝f(x)”，试求φ的值并求出函数的单调增区间．[解](1)∵x＝π8是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一条对称轴，∴2×π8＋φ＝kπ＋π2，k∈Z.∵－πφ0，由此可得φ＝－3π4.(2)由题意，得2kπ－π2≤2x－3π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8，k∈Z，∴函数f(x)＝sin2x－3π4的单调递增区间为kπ＋π8，kπ＋5π8，k∈Z.函数y＝Asinωx＋φ＋b的性质的应用1应用范围：函数的单调性、最值、奇偶性、图像的对称性等方面2解决的方法：求函数y＝Asinωx＋φ＋b的周期、单调区间、最值、对称轴或对称中心问题，都可令ωx＋φ＝u，套用y＝sinu的相应性质顺利解决.-7-1．对于y＝Asin(ωx＋φ)，其奇偶性可由φ决定，φ取不同值可得不同的奇偶性．2．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω的正负．3．y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心实质上是其图像与x轴的交点，对称轴即过最高点或最低点且与x轴垂直的直线.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝12sin2x－π6，x∈R的值域为－12，12.()(2)函数y＝2sin13x－112的周期为4π.()(3)函数y＝3sin2x－π2，x∈R是偶函数．()(4)函数y＝3sin2x＋π6，x∈R的一条对称轴为x＝π6.()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)其中ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，且f(0)＝3，则()A．ω＝12，φ＝π6B．ω＝12，φ＝π3C．ω＝2，φ＝π6D．ω＝2，φ＝π3D[因为函数f(x)的最小正周期是π，所以T＝2πω＝π，所以ω＝2.因为f(0)＝2sinφ＝3，所以sinφ＝32.又因为|φ|＜π2，所以φ＝π3.]-8-3．y＝2sin3x－π4的图像的两条相邻对称轴之间的距离是________．π3[由函数图像知两条相邻对称轴之间的距离为半个周期，即12×2π3＝π3.]4．已知函数f(x)＝2sin2x－π6，x∈R.(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标；(2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．[解](1)由2x－π6＝kπ＋π2(k∈Z)得x＝kπ2＋π3(k∈Z)．所以函数f(x)的对称轴方程为x＝kπ2＋π3，k∈Z.由2x－π6＝kπ得x＝kπ2＋π12(k∈Z)．所以函数f(x)的对称中心为kπ2＋π12，0，k∈Z.(2)因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤56π，所以当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取得最小值－1；当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值2.