2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质 第1

-1-第1课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像学习目标核心素养1.了解振幅、初相、相位、频率等有关概念，会用“五点法”画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．2．理解并掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的平移与伸缩变换．(重点)3．掌握A，ω，φ对图像形状的影响．(难点)1.通过用“五点法”画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，体会直观想象素养．2．通过学习函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的平移与伸缩变换，体会数学抽象素养.1．参数A，φ，ω，b的作用(其中A0，ω0)参数作用A，bA和b决定了该函数的值域和振幅，通常称A为振幅，值域为[－A＋b，A＋b]φφ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相ωω决定了函数的周期，其计算方式为T＝2πω，周期的倒数f＝1T＝ω2π为频率思考1：函数y＝sinx，y＝sin2x和y＝sin12x的周期分别是什么？当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？[提示]2π，π，4π.当三个函数的函数值相同时，y＝sin2x中x的取值是y＝sinx中x取值的12，y＝sin12x中x的取值是y＝sinx中x取值的2倍．2．平移变换(1)左右平移(相位变换)：对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y＝sinx的图像上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．(2)上下平移：对于函数y＝sinx＋b的图像，可以看作是把y＝sinx的图像上所有点向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平行移动|b|个单位长度得到的．思考2：如何由y＝f(x)的图像变换得到y＝f(x＋a)的图像？-2-[提示]向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位．3．伸缩变换(1)振幅变换：对于函数y＝Asinx(A＞0，A≠1)的图像可以看作是把y＝sinx的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的．(2)周期变换：对于函数y＝sinωx(ω＞0，ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sinx的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．思考3：对于同一个x，函数y＝2sinx，y＝sinx和y＝12sinx的函数值有何关系？[提示]对于同一个x，y＝2sinx的函数值是y＝sinx的函数值的2倍，而y＝12sinx的函数值是y＝sinx的函数值的12.1．函数y＝2sinx2＋π5的周期、振幅依次是()A．4π，－2B．4π，2C．π，2D．π，－2[答案]B2．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A．①②④B．②④C．①④D．①③C[法一：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当π2＜x＜π时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，∴f(x)在π2，π单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]的图像如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.-3-法二：∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确，排除B；当π2＜x＜π时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，∴f(x)在π2，π单调递减，故②不正确，排除A；∵y＝sin|x|与y＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)的最大值为2，故④正确．故选C.]3．要得到y＝sinx＋π4的图像只需将y＝sinx的图像向________平移________个单位．[答案]左π44．函数y＝－2sinx－π4的最大值为________，最小值为________．[答案]2－2五点作图法【例1】用五点法作函数y＝3sin12x－π4的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．[解](1)列表：xπ23π25π27π29π212x－π40π2π3π22πy030－30(2)描点：在直角坐标系中描出点π2，0，3π2，3，5π2，0，7π2，－3，9π2，0.(3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．(4)这样就得到了函数y＝3sin12x－π4在一个周期内的图像，再将这部分图像向左、向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sin12x－π4的图像．-4-此函数振幅为3，周期为4π，频率为14π，初相为－π4.五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法：1分别令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想2取ωx0＋φ＝0，得x0＝－φω，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的14，就可得到其余四个点的横坐标.1．用五点法作函数y＝2sin2x＋π3的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．[解](1)列表：列表时2x＋π3取值为0、π2、π、3π2、2π，再求出相应的x值和y值．x－π6π12π37π125π62x＋π30π2π3π22πy020－20(2)描点．(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y＝2sin2x＋π3，x∈R的简图(图略)．此函数的振幅为2，周期为π，频率为1π，初相为π3.-5-三角函数图像的变换【例2】写出由y＝sinx的图像变化到y＝3sin12x－π4的图像的不同方法步骤．[解]法一：先平移再伸缩，过程如下：①把y＝sinx的图像上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y＝sinx－π4的图像；②把y＝sinx－π4的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin12x－π4的图像；③将y＝sin12x－π4的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin12x－π4的图像．法二：先伸缩再平移，过程如下：①把y＝sinx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin12x的图像；②把y＝sin12x的图像向右平移π2个单位长度，得到y＝sin12x－π2＝sin12x－π4的图像；③把y＝sin12x－π4的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin12x－π4的图像．由y＝sinx的图像，通过变换得到y＝Asinωx＋φ的图像时，可以先相位变换，后周期变换，也可以先周期变换，后相位变换.两种变换的顺序不同，变换的量也有所不同，前者平移|φ|个单位，而后者则平移|φ|ω个单位.不论哪一种变换，都是对字母x而言的，即看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少.-6-2．函数y＝3sin2x＋π3的图像是由y＝sinx的图像如何变换得到的？[解]y＝3sin2x＋π3的图像可用下面的方法得到：求函数的解析式[探究问题]1．如何求A，b?[提示]A＝ymax－ymin2，b＝ymax＋ymin2.2．如何求ω？[提示]先求周期T，再求ω，其中ω＝2πT.3．如何求φ？[提示]由图像上的点来求，通常选取波峰或波谷．【例3】如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)的图像，由图中条件，写出该函数的解析式．[思路探究]由图像观察函数周期、振幅、由特殊点法确定初相φ.[解]法一：(最值点法)由图像可得ω＝23，将最高点坐标π4，2代入y＝2sin23x＋φ，-7-得2sinπ6＋φ＝2.所以π6＋φ＝2kπ＋π2.所以φ＝2kπ＋π3(k∈Z)．又因为|φ|π，所以φ＝π3，又因为A＝2，所以此函数的解析式为y＝2sin23x＋π3.法二：(起始点法)由图像求得ω＝23，x0＝－π2，φ＝－ωx0＝－23×－π2＝π3.又因为A＝2，所以此函数的解析式为y＝2sin23x＋π3.1．(变条件)将例3中的图像变为如图所示，试求函数的解析式．[解]法一：根据题意，A＝3，T＝5π6－－π6＝π，∴ω＝2πT＝2，将点Mπ12，3代入y＝3sin(2x＋φ)中，3＝3sin2×π12＋φ，∴sinπ6＋φ＝1，∴π6＋φ＝π2，即φ＝π3，从而所求函数解析式为y＝3sin2x＋π3.法二：由图像知A＝3，又图像过Mπ12，3，N7π12，－3，根据五点作图法的原理(M，N可视为“五点法”中的第二点和第四点)，有π12ω＋φ＝π2，7π12ω＋φ＝32π，解得ω＝2，φ＝π3，从而所求函数解析式是y＝3sin2x＋π3.-8-2.(变条件，变结论)将例3的函数变为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋bA0，ω0，|φ|π2，图像变为如图所示，试求f(x)的解析式，并求S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)．[解](1)由图像知A＝32－122＝12，b＝32＋122＝1，ω＝2πT＝2π4＝π2.∴f(x)＝12sinπ2x＋φ＋1.又∵点(0,1)在函数图像上，∴f(0)＝1，即1＝12sinφ＋1，∴sinφ＝0.又|φ|π2，故φ＝0，∴f(x)＝12sinπ2x＋1.(2)由(1)知函数f(x)＝12sinπ2x＋1，周期T＝2ππ2＝4.∴S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝f(0)＋[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×505.又∵f(0)＝1，f(1)＝32，f(2)＝1，f(3)＝12，f(4)＝1，∴S＝1＋32＋1＋12＋1×505＝2021.由图像或部分图像确定解析式，在观察图像的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ，b：1A：一般由图像上的最大值m、最小值n来确定A＝m－n2.2ω：因为T＝2πω，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点确定T，也可由相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点或最低点之间的距离-9-为T来确定.3φ：从寻找“五点法”中的第一个点－φω，0也叫初始点作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个点的位置.依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下：“第一点”即图像上升时与x轴的交点为ωx＋φ＝0；“第二点”即图像曲线的“峰点”为ωx＋φ＝\f(π,2)；“第三点”即图像下降时与x轴的交点为ωx＋φ＝π；“第四点”即图像曲线的“谷点”为ωx＋φ＝\f(3π,2)；“第五点”即图像第二次上升时与x轴的交点为ωx＋φ＝在用以上方法确定φ的取值时，还要注意题目中给出的φ的限制条件.1．图像变换是三角函数的重点内容之一．函数的各种变换都是自变量x或函数值y进行的变换．图像变换与函数变换紧密相连，相位变换是用x＋φ来代替y＝f(x)中的x，周期变换是用ωx(ω0)代替x，振幅变换是用yA来代替y(A0)．2．图像变换中，还常用以下三种变换：(1)y＝－sinx的图像可由y＝sinx的图像沿x轴翻折180°而得到．(2)y＝|sinx|的图像可由y＝sinx的图像得到．