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-1-1.1位移、速度和力1.2向量的概念学习目标核心素养1.理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)1.通过学习向量的有关概念，共线向量、相等向量的概念体会数学抽象素养．2．通过判断与向量有关的命题的真假提升逻辑推理素养.1．向量的有关概念名称定义表示方法零向量长度为零的向量0单位向量长度为单位1的向量叫作单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量若a等于b，记作a＝b向量平行或共线表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合a与b平行或共线，记作a∥b.规定：零向量与任一向量平行思考1：两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？[提示]数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．2．向量及其表示(1)定义既有大小，又有方向的量叫作向量．(2)有向线段具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点指向终点，以A为起点、B为终点的有向线段记作AB→，线段AB的长度也叫作有向线段AB→的长度，记作|AB→|.(3)向量的长度|AB→|(或|a|)表示向量AB→(或a)的大小，即长度(也称模)．(4)向量的表示法①向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．②向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，…来表示，书写用a→，b→，c→…来表示．-2-思考2：0的模长是多少？0有方向吗？单位向量的模长是多少？[提示]0的模长为0，方向任意．单位向量的模长为1个单位长度．1．下列各量中不是向量的是()A．浮力B．速度C．温度D．加速度C[向量是既有大小又有方向的量．]2．如图所示，四边形RSPQ是菱形，下列可以用同一有向线段表示的两个向量是()A.SP→和QR→B.SR→和PQ→C.SR→和QR→D.SR→和SP→B[由图可知向量SR→与PQ→是相等向量，满足条件．]3.如图，在⊙O中，向量OB→、OC→、AO→是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量C[OB→、OC→、AO→的模均为圆的半径，故相等．]4．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与ED→相等的向量有________，与AB→共线的向量有________．AB→，DC→BA→，ED→，DE→，CD→，DC→，EC→，CE→[在平行四边形ABCD和ABDE中，因为AB→＝ED→，AB→＝DC→，所以与ED→相等的向量为AB→，DC→；由图知与向量AB→共线的向量有BA→，ED→，DE→，CD→，DC→，-3-EC→，CE→.]向量的有关概念【例1】判断下列各命题的真假：(1)向量AB→的长度与向量BA→的长度相等；(2)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；(3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(4)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；(5)向量AB→与向量CD→是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；(6)有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数是()A．2B．3C．4D．5C[(1)真命题．(2)假命题．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的．(3)真命题．(4)假命题．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．(5)假命题．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行．(6)假命题．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段．故选C.]1．零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的定义．2．理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段：只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相同，就是相等向量，而与起点无关．1．给出下列几种说法：①温度、速度、位移这些物理量都是向量；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③向量的模一定是正数；④起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．-4-其中说法正确的是________．(填序号)④[①错误，只有速度、位移是向量．②错误．|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．③错误.0的模|0|＝0.④正确．对于一个向量仅由大小和方向确定，与起点的位置无关．]向量的表示【例2】一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．(1)试作出向量AB→，BC→，CD→；(2)求|AD→|.[思路探究]准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后结合向量的大小确定向量的终点．[解](1)建立如图所示的直角坐标系，向量AB→，BC→，CD→即为所求．(2)根据题意，向量AB→与CD→方向相反，故向量AB→∥CD→.又|AB→|＝|CD→|，∴在四边形ABCD中，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形，∴AD→＝BC→，∴|AD→|＝|BC→|＝400(海里)．1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、向量长度为半径的圆．2.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶了2千-5-米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD→，DC→，CB→，AB→；(2)求B地相对于A地的位置向量．[解](1)向量AD→，DC→，CB→，AB→如图所示．(2)由题意知AD→＝BC→，∴AD綊BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB→＝DC→，∴B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．相等向量与共线向量[探究问题]1．如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？[提示]方向相同或相反．2．表示共线向量的有向线段所在的直线有什么位置关系？[提示]表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合．3．如果非零向量AB→与CD→是共线向量，那么点A，B，C，D是否一定共线？[提示]不一定共线．4．与向量a共线的单位向量有几个？[提示]当a≠0时，有两个；当a＝0时，有无数个．【例3】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？-6-[思路探究]由题目可获得以下主要信息：①六边形ABCDEF是正六边形；②OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c；③求各相应向量．解答本题要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断，从而解决相应问题．[解](1)与a的模相等的向量有23个．(2)与a的长度相等且方向相反的向量有OD→，BC→，AO→，FE→.(3)与a共线的向量有EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→.1．本例中OC→＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量．[解]与a相等的向量有EF→，DO→，CB→；与b相等的向量有DC→，EO→，FA→；与c相等的向量有FO→，ED→，AB→.2．本例条件不变，与AD→共线的向量有哪些？[解]与AD→共线的向量有EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，OA→.1．向量共线有三种情形：①共线且同向；②共线且反向；③有一个是零向量．2．向量的平行与直线平行的关系两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示向量的有向线段所在直线不一定平行，也可能重合．若直线m，n，l，m∥n，n∥l，则m∥l；若向量a，b，c，a∥b，b∥c，而a，c不一定平行．1．向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以向量不能比较大小．2．用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关．3．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义．-7-1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数量同向量一样可以比较大小．()(2)向量AB→与向量BA→是相等向量．()(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．()(4)向量就是有向线段．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．下列说法错误的是()A．若a＝0，则|a|＝0B．零向量是没有方向的C．零向量与任一向量平行D．零向量的方向是任意的B[零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的．]3．把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．一条直线两个点[因为向量平行，且表示它们的有向线段有共同的起点，所以终点在一条直线上；而对于单位向量，其大小都是一个单位，所以它们的终点在起点的两侧，且距起点一个单位，所以终点构成的图形是两个点．]4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与AF→、AE→相等的向量；(2)写出与AD→模相等的向量．[解](1)AF→＝BE→＝CD→，AE→＝BD→.(2)DA→，CF→，FC→.