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-1-2.2向量的减法学习目标核心素养1.知道向量减法的定义，理解相反向量的意义．2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量.1.通过学习向量减法的定义及相反向量，体会数学抽象素养．2．通过向量减法的运算及几何意义作出向量的差，体会数学直观素养.向量的减法(1)相反向量定义把与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a；规定：零向量的相反向量仍是零向量性质(1)零向量的相反向量仍是零向量，于是－0＝0；(2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；(3)若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a定义向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，求两个向量差的运算，叫作向量的减法几何意义如图，设OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b，即a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量思考：向量减法的三角形法则是什么？[提示](1)两个向量a，b的始点移到同一点；(2)连接两个向量(a与b)的终点；(3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a－b的方法叫作向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．1．下列等式中，正确的个数是()①a＋b＝b＋a；②a－b＝b－a；-2-③0－a＝－a；④－(－a)＝a；⑤a＋(－a)＝0.A．1B．2C．3D．4C[由向量的加法及几何意义，可得：①a＋b＝b＋a，正确；由向量的减法及其几何意义，得a－b＝－(b－a)，即②错误；0－a＝－a，③正确；根据相反向量的定义及性质得－(－a)＝a，④正确；而a＋(－a)＝0≠0，⑤错误．]2．在△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，则BC→＝()A．a＋bB．a－bC．b－aD．－a－bC[BC→＝AC→－AB→＝b－a.]3．设正方形ABCD的边长为2，则|AB→－CB→＋AD→－CD→|＝________.42[如图，原式＝|(AB→＋AD→)－(CB→＋CD→)|＝|AC→－CA→|＝|AC→＋AC→|＝2|AC→|，∵正方形边长为2.∴2|AC→|＝42.]4．已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝5，则|a－b|＝________.5[根据平行四边形法则，∵(5)2＝12＋22，∴平行四边形为矩形，那么|a－b|＝|a＋b|＝5.]向量减法法则的应用【例1】如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b、c－d.[解]如图所示，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d.则a－b＝BA→，c－d＝DC→.-3-利用向量减法进行几何作图的方法(1)已知向量a，b，如图①所示，作OA→＝a，OB→＝b，利用向量减法的三角形法则可得a－b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b.如图②所示，作OA→＝a，OB→＝b，AC→＝－b，则OC→＝a＋(－b)，即BA→＝a－b.1．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[解]如图所示，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b，再作OC→＝c，则CB→＝a＋b－c.向量加减法的混合运算【例2】化简下列各式：(1)(AB→＋MB→)＋(－OB→－MO→)；(2)AB→－AD→－DC→.[解](1)法一：原式＝AB→＋MB→＋BO→＋OM→＝(AB→＋BO→)＋(OM→＋MB→)＝AO→＋OB→＝AB→.-4-法二：原式＝AB→＋MB→＋BO→＋OM→＝AB→＋(MB→＋BO→)＋OM→＝AB→＋MO→＋OM→＝AB→＋0＝AB→.(2)法一：原式＝DB→－DC→＝CB→.法二：原式＝AB→－(AD→＋DC→)＝AB→－AC→＝CB→.化简向量的和差的方法1如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号.2可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简.3化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点.提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧.2．化简下列式子：(1)NQ→－PQ→－NM→－MP→；(2)(AB→－CD→)－(AC→－BD→)．[解](1)原式＝NP→＋MN→－MP→＝NP→＋PN→＝NP→－NP→＝0.(2)原式＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB→－AC→)＋(DC→－DB→)＝CB→＋BC→＝0.向量加减法的综合应用[探究问题]1．向量减法的实质是什么？[提示]加法的逆运算．2．|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系如何？[提示]|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.3．怎样求两个向量的差？-5-[提示]两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是对角线所对应的向量点，和向量是对角线所对应的向量AC→，而差向量是另一条对角线所对应的向量DB→，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为：共起点，连终点，指向被减．4．向量的模与平行四边形形状的几何结论有哪些？[提示]在▱OACB中，OA→＝a，OB→＝b，则：(1)若|a|＝|b|，则▱OACB为菱形．(2)若|a＋b|＝|a－b|，则▱OACB为矩形．(3)若|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|，则▱OACB为正方形．【例3】如图所示，在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，用向量a，b表示AC→、DB→，并回答下面几个问题．(1)当a、b满足什么条件时，AC⊥BD?(2)当▱ABCD满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?[思路探究]解答本题首先要弄清四边形与向量条件的对应关系，再结合图形，灵活转化求解．[解]∵AB→＝a，AD→＝b，∴AC→＝a＋b，DB→＝a－b.(1)当|a|＝|b|时，▱ABCD为菱形，因为菱形的对角线互相垂直，故此时有AC⊥BD.(2)当▱ABCD为长方形时，因为长方形的对角线相等，所以|a＋b|＝|a－b|.1．将例3中的条件变为“▱ABCD中∠ABC＝60°，AB→＝a，AD→＝b，若|a|＝|a＋b|＝2”，求|a－b|的值．[解]依题意，|AC→|＝|a＋b|＝2，如图所示．而|AB→|＝|a|＝2.因为∠ABC＝60°，-6-所以△ABC是等边三角形，所以BC＝AB.所以▱ABCD为菱形，AC⊥BD，所以|a|2＝12|a＋b|2＋12|a－b|2，即4＝1＋|a－b|24，所以|a－b|＝23.2．若将例3中的条件变为“设平面内四边形ABCD及任一点O，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|”．试判断四边形ABCD的形状．[解]由a＋c＝b＋d得a－b＝d－c，即OA→－OB→＝OD→－OC→，∴BA→＝CD→，于是AB綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形．又|a－b|＝|a－d|，从而|OA→－OB→|＝|OA→－OD→|，∴|BA→|＝|DA→|，∴四边形ABCD为菱形．1．关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．2．用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果．1．向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分a－b与b－a.-7-3．以向量AB→＝a，AD→＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为AC→＝a＋b，BD→＝b－a.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的差仍是一个向量．()(2)BA→＝OA→－OB→.()(3)a－b的相反向量是b－a.()(4)|a－b|＜|a＋b|.()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×2．若菱形ABCD的边长为2，则|AB→－CB→＋CD→|＝________.2[|AB→－CB→＋CD→|＝|AB→＋BC→＋CD→|＝|AC→＋CD→|＝|AD→|＝2.]3．若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．717[由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|可得．]4.如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设AB→＝a，DA→＝b，OC→＝c，用a，b，c表示OA→.[解]OA→＝OB→＋BA→＝OC→＋CB→＋BA→＝OC→＋DA→－AB→＝c＋b－a.