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-1-3.2平面向量基本定理学习目标核心素养1.了解平面向量基本定理及其意义．(重点)2.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(难点)1.通过学习平面向量基本定理提升数学抽象素养．2.通过平面向量基本定理解决实际问题，培养直观想象素养.平面向量基本定理如果e1，e2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如图②所示)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．思考：若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？[提示]由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2.∵e1与e2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A．e1，e2B．e1＋e2,3e1＋3e2C．e1,5e2D．e1，e1＋e2[答案]B2．设O为平行四边形ABCD的对称中心，AB→＝4e1，BC→＝6e2，则2e1－3e2等于()A.OA→B.OB→C.OC→D.OD→-2-B[如图，OB→＝12DB→＝12(AB→－BC→)＝2e1－3e2.]3．已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________.3[由原式可得3x－4y＝6，2x－3y＝3，解得x＝6，y＝3，所以x－y＝3.]4．已知向量a与b不共线，且AB→＝a＋4b，BC→＝－a＋9b，CD→＝3a－b，则共线的三点为________．A，B，D[BD→＝BC→＋CD→＝－a＋9b＋3a－b＝2a＋8b，因为AB→＝a＋4b，所以AB→＝12BD→，所以A，B，D三点共线．]对向量基底的理解【例1】设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：①AD→与AB→；②DA→与BC→；③CA→与DC→；④OD→与OB→，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④B[①AD→与AB→不共线；②DA→＝－BC→，则DA→与BC→共线；③CA→与DC→不共线；④OD→＝－OB→，则OD→与OB→共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．]考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.1．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.-3-23－13[由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得m－n＝1，2m＋n＝1，所以m＝23，n＝－13.]用基底表示向量【例2】设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使BM→＝13BC→，CN→＝13CA→，AP→＝13AB→，若AB→＝a，AC→＝b，试用a，b将MN→、NP→、PM→表示出来．[解]如图，MN→＝CN→－CM→＝－13AC→－23CB→＝－13AC→－23(AB→－AC→)＝13AC→－23AB→＝13b－23a.同理可得NP→＝13a－23b.PM→＝－MP→＝－(MN→＋NP→)＝13a＋13b.平面内任何一个向量都可以用两个基底进行表示，转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，同时结合实数与向量积的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解.-4-2.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若AB→＝a，AD→＝b，试用a，b表示DC→，BC→，MN→.[解]如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．则DC→＝AN→＝12AB→＝12a；BC→＝NC→－NB→＝AD→－12AB→＝b－12a；MN→＝CN→－CM→＝－AD→－12CD→＝－AD→－12－12AB→＝14a－b.平面向量基本定理应用[探究问题]1．如果e1，e2是两个不共线的非零向量，则与e1，e2在同一平面内的任一向量a，能否用e1，e2表示？依据是什么？[提示]能．依据是平面向量基本定理．2．如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？[提示]不一定．当a与e1，e2中的一个非零向量共线时可以表示，否则不能表示．3．基底给定时，向量分解形式唯一吗？[提示]向量分解形式唯一．【例3】如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.[思路探究]以BM→与CN→为基底利用平面向量基本定理求解，解题时注意条件A、P、M和B、-5-P、N分别共线的应用．[解]设BM→＝e1，CN→＝e2，则AM→＝AC→＋CM→＝－3e2－e1，BN→＝BC→＋CN→＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP→＝λAM→＝－λe1－3λe2，BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2.故BA→＝BP→＋PA→＝BP→－AP→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得λ＝45，μ＝35.∴AP→＝45AM→，BP→＝35BN→，∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.1．(变设问)在本例条件下，若CM→＝a，CN→＝b，试用a，b表示CP→.[解]由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则NP→＝25NB→，CP→＝CN→＋NP→＝CN→＋25NB→＝b＋25(CB→－CN→)＝b＋45a－25b＝35b＋45a.2．(变条件)若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.[解]如图，设BM→＝e1，CN→＝e2，则AM→＝AC→＋CM→＝－2e2－e1，BN→＝BC→＋CN→＝2e1＋e2，∵A，P，M和B，P，N分别共线，-6-∴存在实数λ，μ使得AP→＝λAM→＝－λe1－2λe2，BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2.故BA→＝BP→＋PA→＝BP→－AP→＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.而BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，得λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得λ＝23，μ＝23.∴AP→＝23AM→，BP→＝23BN→，∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.用向量解决平面几何问题的一般步骤1选取不共线的两个平面向量作为基底.2将相关的向量用基底向量表示，将几何问题转化为向量问题.3利用向量知识进行向量运算，得出向量问题的解.4再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.1．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①一组基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量．2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)-7-(1)任意两个向量都可以作为基底．()(2)平面向量的基底不是唯一的．()(3)零向量不可作为基底中的向量．()[答案](1)×(2)√(3)√2．下列关于基底的说法正确的是()①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．A．①B．②C．①③D．②③C[零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．]3．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.－15－12[∵向量e1，e2不共线，∴2x－3y＝6，3x－4y＝3，解得x＝－15，y＝－12.]4.如图所示，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝12AB，点N在BC上，且BN＝13BC.求证：M，N，D三点共线．[证明]设AB→＝e1，AD→＝e2，则BC→＝AD→＝e2.∵BN→＝13e2，BM→＝12AB→＝12e1.∴MN→＝BN→－BM→＝13e2－12e1.又∵MD→＝AD→－AM→＝e2－32e1＝313e2－12e1＝3MN→.∴向量MN→与MD→共线，又M是公共点，故M，N，D三点共线．-8-