2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 6 平面向量数量积的坐标表示学案 北师大版必修4

-1-§6平面向量数量积的坐标表示学习目标核心素养1.掌握数量积的坐标表达式．(重点)2.能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．(重点)3.了解直线的方向向量的概念．(难点)1.通过学习直线方向向量的概念及数量积的坐标表示，体会数学抽象素养．2.通过求解两向量的夹角及判断两向量的垂直关系，提升数学运算素养.1．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)a2＝x21＋y21，即|a|＝x21＋y21；(3)设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22；(4)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.思考1：垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？[提示]能．a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0.2．直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．思考2：直线的方向向量唯一吗？[提示]不唯一．因为与直线l共线的非零向量有无数个，所以直线l的方向向量也有无数个．1．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB→＝(2,3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A．－3B．－2C．2D．3C[因为BC→＝AC→－AB→＝(1，t－3)，所以|BC→|＝1＋t－32＝1，解得t＝3，所以BC→＝(1,0)，所以AB→·BC→＝2×1＋3×0＝2，故选C.]2．已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝________.2[由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2.]-2-3．已知向量a＝(4，－1)，b＝(x,3)，若|a|＝|b|，则x＝________.±22[由|a|＝|b|得42＋－12＝x2＋32，解得x＝±22.]4．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为________．π4[设a与b的夹角为θ，则cosθ＝3×1＋－1×－210·5＝22，又θ∈[0，π]，所以θ＝π4.]平面向量数量积的坐标运算【例1】已知向量a和b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.[解](1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)．∵a·b＝10，∴5λ·5cos0°＝10，解得λ＝2.∴a＝(2,4)．(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.1．(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()A．－12B．－6C．6D．12(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，AF→＝2FD→，则BE→·CF→＝________.(1)D(2)23[(1)2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0，0)，C(2,0)，因为AF→＝2FD→，所以F43，2.-3-所以BE→＝(2,1)，CF→＝43，2－(2,0)＝－23，2，所以BE→·CF→＝(2,1)·－23，2＝2×－23＋1×2＝23.]向量的夹角及垂直【例2】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．[解]a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cosθ＝0，所以a·b＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cosθ＜0，且cosθ≠－1，所以a·b＜0，且a与b不反向．由a·b＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－12，由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．所以λ的取值范围为－∞，－12.(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cosθ＞0，且cosθ≠1，所以a·b＞0且a，b不同向．由a·b＞0，得λ＞－12，由a与b同向得λ＝2.-4-所以λ的取值范围为－12，2∪(2，＋∞)．1．已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|＝x2＋y2进行计算．2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；(2)再求出两向量的模；(3)由公式cosθ＝a·b|a||b|，计算cosθ的值；(4)在[0，π]内，由cosθ的值确定角θ.2．已知a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5.(1)求|a＋2b|；(2)若(a＋b)·c＝52，求向量a与c的夹角．[解](1)a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，∴|a＋2b|＝－32＋－62＝35.(2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a，∴a＋b＝－a，∴(a＋b)·c＝－a·c＝52.设a与c的夹角为θ，则cosθ＝a·c|a||c|＝－525×5＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝23π，即a与c的夹角为23π.向量的模[探究问题]1．由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？[提示]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，由向量长度的坐标表示可得-5-|AB|＝|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.2．求向量的坐标一般采用什么方法？[提示]一般采用设坐标、列方程的方法求解．【例3】设平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)．求a－2b的坐标和模的大小．[思路探究]利用向量的坐标运算求得a－2b的坐标表示，然后求模．[解]∵a＝(1,1)，b＝(0,2)，∴a－2b＝(1,1)－2(0,2)＝(1，－3)，∴|a－2b|＝12＋－32＝10.1．将例3中的条件不变，若c＝3a－(a·b)b，试求|c|.[解]a·b＝1×0＋1×2＝2，∴c＝3(1,1)－2(0,2)＝(3，－1)，∴|c|＝32＋－12＝10.2．将例3中的b＝(0,2)改为b＝(0，－2)，其他条件不变，若ka－b与a＋b共线，试求k值．[解]∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)．a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．∵ka－b与a＋b共线，∴k＋2－(－k)＝0.∴k＝－1.3．将例3中的b＝(0,2)改为b＝(0，－2)，其他条件不变，若ka－b的模等于10，试求k值．[解]∵ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，∵ka－b的模等于10.∴k2＋k＋22＝10，化简得k2＋2k－3＝0，解得k＝1或k＝－3.即当k＝1或k＝－3时满足条件．求向量的模的两种基本策略1字母表示F的运算利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.-6-2坐标表示F的运算,若a＝x，y，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，,于是有|a|＝x2＋y2.1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.应用该条件要注意：由a⊥b可得x1x2＋y1y2＝0；反过来，由x1x2＋y1y2＝0可得a⊥b.2．向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两非零向量的夹角θ满足cosθ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.()(3)两向量a与b的夹角公式cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22的使用范围是a≠0且b≠0.()[答案](1)×(2)√(3)√2．已知a＝(－3，－1)，b＝(1，3)，那么a，b的夹角θ＝()A．30°B．60°C．120°D．150°D[cosθ＝－3－32×2＝－32，又因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝150°.]3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A．1B.2C．2D．4C[∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n＝±3.∴|a|＝12＋n2＝2.]4．已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标．[解]∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，∴5a－b＝(－11，－10－k)．b－3a＝(5，k＋6)，∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6)＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55，∴(k＋10)(k＋6)＝0，∴k＝－10或k＝－6，-7-∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)．