2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变形 2 2.3 两角和与差的正切函数学案 北师大版

-1-2.3两角和与差的正切函数学习目标核心素养1.能利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．(重点)2.掌握公式T(α±β)及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题．(难点)1.通过利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式，提升逻辑推理素养．2.通过T(α±β)及其公式解决化简、求值、证明等，培养数学运算素养.两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβα，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβα，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβ≠－1(1)变形公式tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β.(2)公式的特例tanπ4＋α＝1＋tanα1－tanα；tanπ4－α＝1－tanα1＋tanα.思考：怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？[提示]tan(α＋β)＝sinα＋βcosα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ，分子分母同除以cosαcosβ，便可得到．-2-1．若tanα＝3，tanβ＝43，则tan(α－β)＝()A．13B．12C．－13D．－3A[因为tanα＝3，tanβ＝43，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝3－431＋3×43＝13.]2．设α，β∈0，π2，且tanα＝17，tanβ＝43，则α－β等于()A.π3B.π4C.3π4D.－π4D[tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝17－431＋17×43＝－1.∵－π2＜α－β＜π2，∴α－β＝－π4.]3.1＋tan15°1－tan15°的值为()A.2B．－2C.3D．－3C[原式＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝3.]4.tan82°－tan22°1＋tan82°tan22°＝________.3[tan82°－tan22°1＋tan82°tan22°＝tan(82°－22°)＝tan60°＝3.]化简求值【例1】求下列各式的值：-3-(1)3＋tan15°1－3tan15°；(2)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°.[解](1)原式＝tan60°＋tan15°1－tan60°tan15°＝tan(60°＋15°)＝tan75°＝tan(30°＋45°)＝tan30°＋tan45°1－tan30°tan45°＝33＋11－33＝2＋3.(2)∵tan45°＝tan15°＋tan30°1－tan15°tan30°＝1，∴tan15°＋tan30°＝1－tan15°tan30°，∴原式＝(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1.在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用.当式子中出现12，1，32，3这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的.1．(1)sin15°－cos15°sin15°＋cos15°；(2)tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°.[解](1)∵tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝2－3.∴sin15°－cos15°sin15°＋cos15°＝tan15°－1tan15°＋1＝2－3－12－3＋1＝1－333－1＝－33.-4-(2)tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝tan(10°＋50°)(1－tan10°tan50°)＋3tan10°tan50°＝tan60°－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝tan60°＝3.给值求值(或求角)【例2】(1)已知tanπ12＋α＝2，tanβ－π3＝22.求：①tanα＋β－π4；②tan(α＋β)．(2)设方程x2＋33x＋4＝0的两根为tanα，tanβ，且0＜|α|＜π2，0＜|β|＜π2，求α＋β的值．[解](1)①tanα＋β－π4＝tanα＋π12＋β－π3＝tanα＋π12＋tanβ－π31－tanα＋π12tanβ－π3＝2＋221－2×22＝－2.②tan(α＋β)＝tanα＋β－π4＋π4＝tanα＋β－π4＋tanπ41－tanα＋β－π4tanπ4＝－2＋11－－2×1＝22－3.(2)由已知，得tanα＋tanβ＝－33，tanαtanβ＝4.所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－331－4＝3，且tanα＜0，tanβ＜0，所以－π2＜α＜0，－π2＜β＜0，所以－π＜α＋β＜0，-5-所以α＋β＝－23π.1．“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角．2．已知某三角函数值求角问题，通常分两步：(1)先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定)；(2)根据角的范围确定角，必要时可利用值缩小角的范围．2．已知tanα＝13，tanβ＝－2，且0＜α＜π2＜β＜π，求：(1)tan(α－β)的值；(2)角α＋β的值．[解](1)因为tanα＝13，tanβ＝－2，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝13＋21－23＝7.(2)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝13－21＋23＝－1，因为0＜α＜π2＜β＜π，所以π2＜α＋β＜3π2，所以α＋β＝3π4.正切公式的综合应用[探究问题]1．若α＋β＝π，则tanα与tanβ存在怎样关系？[提示]tanα＝tan(π－β)＝－tanβ.2．在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC与tanAtanBtanC有何关系？[提示]∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝－tanC，∴tanA＋tanB1－tanAtanB＝－tanC，-6-∴tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.3．在△ABC中，A，B，C三个角有什么关系？[提示]A＋B＋C＝π或A2＋B2＝π2－C2.【例3】在△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＋1＝tanAtanB，判断△ABC的形状．[思路探究]可先求出tan(B＋C)和tan(A＋B)的值．再由诱导公式分别求tanA和tanC的值，从而可得A，B，C，即可判断三角形形状．[解]tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tanB＋tanCtanBtanC－1＝3－3tanBtanCtanBtanC－1＝－3，又0°A180°，∴A＝120°，而tanC＝tan[π－(A＋B)]＝tanA＋tanBtanAtanB－1＝tanA＋tanB3tanA＋3tanB＝33.又0°C180°，∴C＝30°，∴B＝30°.∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．将例3中的条件变为“△ABC中，∠C＝120°，tanA＋tanB＝233”，试求tanA·tanB的值．[解]因为A＋B＋C＝180°，∠C＝120°，所以tan(A＋B)＝tan60°＝3.又tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanA·tanB，所以2331－tanA·tanB＝3，解得tanA·tanB＝13.1．等式中同时出现tanA±tanB与tanA·tanB时，一般是构造tan(A±B)，利用两角和与差的正切公式求解．2．在三角形中要注意应用A＋B＋C＝π这一隐含条件．-7-1．公式T(α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋π2(k∈Z)．2．公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tanπ4＝1，tanπ6＝33，tanπ3＝3等．要特别注意tanπ4＋α＝1＋tanα1－tanα，tanπ4－α＝1－tanα1＋tanα.3．公式T(α±β)的变形应用只要见到tanα±tanβ，tanαtanβ时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)tanαtanβ，tan(α＋β)，tanα＋tanβ三者知二，即可表示或求出第三个．()(2)tanπ2＋π3能用公式tan(α＋β)展开．()(3)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．()(4)公式T(α±β)对任意α，β都成立．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．已知A＋B＝45°，则(1＋tanA)(1＋tanB)的值为()A．1B．2C．－2D．不确定B[(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋(tanA＋tanB)＋tanAtanB＝1＋tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanAtanB＝1＋1－tanAtanB＋tanAtanB＝2.]3．已知A，B都是锐角，且tanA＝13，sinB＝55，则A＋B＝________.π4[∵B为锐角，sinB＝55，∴cosB＝255，∴tanB＝12，-8-∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝13＋121－13×12＝1.∵0A＋Bπ，∴A＋B＝π4.]4．求tan18°＋tan42°＋tan120°tan18°tan42°tan60°的值．[解]∵tan18°＋tan42°＋tan120°＝tan60°(1－tan18°tan42°)＋tan120°＝－tan60°tan18°tan42°，∴原式＝－1.