2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变形 3 二倍角的三角函数 第2课时 半角的正弦、余

-1-第2课时半角的正弦、余弦和正切学习目标核心素养1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法．(重点)2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点)1.通过用二倍角公式推导出半角公式，体会逻辑推理素养．2.通过利用三角恒等变换对三角函数式化简求值，体会数学运算素养.半角公式(1)sinα2＝±1－cosα2；(2)cosα2＝±1＋cosα2；(3)tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.思考：利用tanα＝sinαcosα和倍角公式能得到tanα2与sinα，cosα有怎样的关系？[提示]tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2＝sinα1＋cosα，tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2＝1－cosαsinα.1．若cosα＝13，且α∈(0，π)，则sinα2的值为()A．－33B．33C．63D．－63[答案]B-2-2．已知cosα＝23，α∈－π2，π2，则cosα2的值为()A．66B．306C．－66D．－306[答案]B3．tan15°等于()A．2＋3B．2－3C．3＋1D．3－1B[由tanα2＝sinα1＋cosα，得tan15°＝sin30°1＋cos30°＝2－3.]4．若cos22°＝a，则sin11°＝________，cos11°＝________(用a表示)．1－a21＋a2[sin11°＞0，cos11°＞0，所以sin11°＝1－a2，cos11°＝1＋a2.]应用半角公式求值【例1】已知cosα＝13，α为第四象限角，求sinα2、cosα2、tanα2.[解]sinα2＝±1－cosα2＝±1－132＝±33，cosα2＝±1＋cosα2＝±1＋132＝±63，tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝±1－131＋13＝±22.∵α为第四象限角，∴α2为第二、四象限角．当α2为第二象限角时，sinα2＝33，cosα2＝－63，tanα2＝－22；-3-当α2为第四象限角时，sinα2＝－33，cosα2＝63，tanα2＝－22.在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tanθ2，还要注意运用公式tanθ2＝sinθ1＋cosθ＝1－cosθsinθ来求值.1．已知sinθ＝45，且5π2θ3π，求cosθ2和tanθ2.[解]∵sinθ＝45，5π2θ3π，∴cosθ＝－1－sin2θ＝－35.由cosθ＝2cos2θ2－1得cos2θ2＝1＋cosθ2＝15.∵5π4θ232π.∴cosθ2＝－1＋cosθ2＝－55.tanθ2＝sinθ1＋cosθ＝2.利用半角公式化简求值【例2】化简：sinα2－cosα21＋cosα＋sinα2＋2cosα3π2α2π.[思路探究]利用半角公式将角进一步统一为α2，注意角的取值范围．[解]∵3π2α2π，∴3π4α2π，-4-∴原式＝sinα2－cosα22cos2α2＋2sinα2cosα24cos2α2＝2cosα2sinα2－cosα2cosα2＋sinα2－2cosα2＝cos2α2－sin2α2＝cosα.对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．2．化简：1＋sinx＋cosxsinx2－cosx22＋2cosx(180°x360°)．[解]原式＝1＋2sinx2cosx2＋2cos2x2－1sinx2－cosx22＋22cos2x2－1＝2sinx2cosx2＋2cos2x2sinx2－cosx24cos2x2＝2cosx2sinx2＋cosx2sinx2－cosx22cosx2＝cosx2sin2x2－cos2x2cosx2＝－cosx2cosxcosx2.-5-因为180°x360°，所以cosx20，所以原式＝－cosx2cosx－cosx2＝cosx.三角恒等变换的综合应用[探究问题]1．半角公式适用的条件是什么？[提示]cosα2＝±1＋cosα2，sinα2＝±1－cosα2，α∈R.tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα中，α≠2kπ＋π，k∈Z，tanα2＝1－cosαsinα中，α≠kπ，k∈Z.2．如何理解倍角公式与半角公式中的倍角与半角？[提示]例如α可以看成α2的倍角，也可以看成2α的半角．3．怎样把asinx＋bcosx化成Asin(ωx＋φ)形式？[提示]asinx＋bcosx＝a2＋b2·aa2＋b2sinx＋ba2＋b2cosx＝a2＋b2(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝a2＋b2sin(x＋φ)其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.【例3】已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈0，π2时，求函数f(x)的最大值及相应的x值．[思路探究]把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式，再研究其性质．[解]f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.(1)令2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，-6-∴f(x)的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．(2)由x∈0，π2，可得π6≤2x＋π6≤7π6.∴当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取最大值，最大值为2.将例3中的函数变为“f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R”，试求：(1)f(x)的最小正周期；(2)f(x)在x∈－π3，π4上的最值．[解](1)由已知，得f(x)＝1－cos2x2－1－cos2x－π32＝1212cos2x＋32sin2x－12cos2x＝34sin2x－14cos2x＝12sin2x－π6.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间－π3，－π6上是减函数，在区间－π6，π4上是增函数，f－π3＝－14，f－π6＝－12，fπ4＝34.所以f(x)在区间－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将f(x)转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再研究f(x)的有关性质，注意使用整体代换的思想将ωx＋φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tanφ＝ba或sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)半角公式对任意角都适用．()-7-(2)tanα2＝sinα1＋cosα，只需满足α≠2kπ＋π(k∈Z)．()(3)sinx＋cosx＝2sinx＋π4.()(4)sinx＋3cosx＝2sinx＋π3.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．函数f(x)＝2sinx2sinπ3－x2的最大值等于()A．12B．32C．1D．2A[∵f(x)＝2sinx2sinπ3cosx2－cosπ3sinx2＝32sinx－sin2x2＝32sinx－1－cosx2＝32sinx＋12cosx－12＝sinx＋π6－12.∴f(x)max＝12.]3．设5πθ6π，cosθ2＝13，则sinθ4＝________.－33[∵5π4θ43π2，∴sinθ40.∴sinθ4＝－1－cosθ22＝－1－132＝－33.]4．已知πα3π2，化简1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα.[解]原式＝sinα2＋cosα222cosα2－2sinα2＋sinα2－cosα222cosα2＋2sinα2，∵πα3π2，∴π2α23π4，∴cosα20，sinα20.∴原式＝sinα2＋cosα22－2sinα2＋cosα2＋sinα2－cosα222sinα2－cosα2-8-＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cosα2.