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-1-1.1.2集合的基本关系学习目标核心素养1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2．能识别给定集合的子集、真子集．3．了解维恩图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系.1.通过对集合之间包含关系与相等的含义以及子集，真子集概念的理解，培养数学抽象素养．2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算及逻辑推理的数学素养．3．利用Venn图，培养直观想象数学素养.1.维恩图一般地，如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图．维恩图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．2．子集、真子集、集合相等的相关概念思考：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？提示：(1)不一定，如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．3．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C.-2-①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC.③若A⊆B，A≠B，则AB.1．下列集合中与{2,3}是同一集合的是()A．{{2}，{3}}B．{(2,3)}C．{(3,2)}D．{3,2}D[与{2,3}是同一集合的是{3,2}．故选D.]2．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3B[在①中，空集的子集是空集，故①错误；在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误；在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；在④中，若∅A，则A≠∅，故④正确．故选B.]3．已知集合P＝{x|0≤x≤2}，且M⊆P，则M可以是()A．{0,1}B．{1,3}C．{－1,1}D．{0,5}A[A.0∈P,1∈P，则M⊆P成立，B．3∉P，则M⊆P不成立，C．－1∉P，则M⊆P不成立，D．5∉P，则M⊆P不成立，故选A.]4．已知集合A{2018,2019}，则这样的集合A共有________个．3[满足A{2018,2019}的集合A为：∅，{2018}，{2019}，共3个．]理解子集、真子集、空集的概念【例1】已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A⊇B，求实数a的值．-3-[解]A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．(1)当a＝0时，B＝∅⊆A，符合题意．(2)当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝1a，∵1a≠0，要使A⊇B，只有1a＝1，即a＝1.综上，a＝0或a＝1.集合A的子集可分三类：∅、A本身、A的非空真子集，解题中易忽略∅.1．已知集合A＝{x|1x2}，B＝{x|2a－3xa－2}，且A⊇B，求实数a的取值范围．[解](1)当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝∅⊆A，符合题意．(2)当a1时，要使A⊇B，需a1，2a－3≥1，a－2≤2，这样的实数a不存在．综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}．集合的子集、真子集的确定【例2】(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．[解](1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如∅，有一个子集，0个真子集．为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等.2．适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A．15B．16C．31D．32A[这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，-4-{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．]集合间关系的应用【例3】(1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}A．1B．2C．3D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．(1)B[对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.](2)[解]①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.判断集合间关系的方法1用定义判断.,首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；,若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.2数形结合判断.,对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.-5-3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是()B[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的维恩图如选项B所示．]1．对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．1．下列集合中，结果是空集的是()A．{x∈R|x2－1＝0}B．{x|x＞6或x＜1}C．{(x，y)|x2＋y2＝0}D．{x|x＞6且x＜1}D[A.{x∈R|x2－1＝0}＝{1，－1}，B．{x|x＞6或x＜1}不是空集，C．{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}，D．{x|x＞6且x＜1}＝∅，故选D.]2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为()A．P⊆TB．P∈TC．P＝TD．PTA[集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，T＝{－1,0,1}，∴P⊆T，故选A.]3．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是()-6-B[由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}．∵M＝{－1,0,1}，∴NM，故选B.]4．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围________．[4，＋∞)[∵集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，A⊆B，∴a≥4.∴实数a的取值范围是[4，＋∞)．]