2019-2020学年新教材高中数学 第1章 集合与常用逻辑用语 1.2.3 充分条件、必要条件(第

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-1-第1课时充分条件与必要条件学习目标核心素养1.理解充分条件、必要条件的定义.(难点)2.会判断充分条件、必要条件.(重点)3.会根据充分不必要条件、必要不充分条件求字母的取值范围.(重点、难点)1.通过充分条件、必要条件的判断,提升逻辑推理素养.2.通过充分条件、必要条件的应用,培养数学运算素养.1.充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件思考1:(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同?(2)以下五种表述形式:①p⇒q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗?提示:(1)相同,都是p⇒q.(2)等价.2.充分条件与必要条件的判断3.充分条件、必要条件与集合的关系A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q}A⊆Bp是q的充分条件q是p的必要条件p是q的不充分条件q是p的不必要条件B⊆Aq是p的充分条件p是q的必要条件q是p的不充分条件p是q的不必要条件-2-思考2:“x2”是“x3”的________条件,“x3”是“x2”的________条件.提示:充分必要1.下列命题中q是p的必要条件的是()A.p:A∩B=A,q:A⊆BB.p:x2-2x-3=0,q:x=-1C.p:|x|1,q:x0D.p:x22,q:x2A[由A∩B=A能得出A⊆B,其余选项都不符合要求.]2.“x=1”是“x2-1=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A[当x=1时,x2-1=0成立,反之不成立,所以“x=1”是“x2-1=0”的充分不必要条件.]3.“△ABC为直角三角形”是“其三边关系a2+b2=c2”的________条件.(填“充分”或“必要”)必要[若△ABC三边关系满足a2+b2=c2,则△ABC为直角三角形,故“△ABC为直角三角形”是“其三边关系a2+b2=c2”的必要条件.]4.“x2=2x”是“x=0”的________条件,“x=0”是“x2=2x”的________条件.(用“充分”“必要”填空)必要充分[由于x=0⇒x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件,“x=0”是“x2=2x”的充分条件.]充分条件、必要条件的判断【例1】下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的什么条件?(充分不必要条件,必要不充分条件,既是充分条件也是必要条件,既不充分也不必要条件)(1)若x=1,则x2-4x+3=0;(2)若函数y=x,则函数为递增的;(3)若x为无理数,则x2为无理数;(4)若x=y,则x2=y2;-3-(5)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等;(6)若ab,则acbc.[解](1)因为命题“若x=1,则x2-4x+3=0”是真命题,而命题“若x2-4x+3=0,则x=1”是假命题,所以p是q的充分条件,但不是必要条件,即p是q的充分不必要条件.(2)∵p⇒q,而qp,∴p是q的充分不必要条件.(3)∵pq,而q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.(4)∵p⇒q,而qp,∴p是q的充分不必要条件.(5)∵p⇒q,而qp,∴p是q的充分不必要条件.(6)∵pq,而qp,∴p是q的既不充分也不必要条件.本例六个小题分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地,定义法主要用于较简单的命题判断,集合法一般需对命题进行化简,等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件,就要看p能否推出q,要判断p是不是q的必要条件,就要看q能否推出p.1.指出下列命题中p是q的什么条件?(1)p:x2=2x+1,q:x=2x+1;(2)p:a2+b2=0,q:a+b=0;(3)p:x=1或x=2,q:x-1=x-1;(4)p:sinαsinβ,q:αβ.[解](1)∵x2=2x+1D/⇒x=2x+1,x=2x+1⇒x2=2x+1,∴p是q的必要不充分条件.(2)∵a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0,a+b=0D/⇒a2+b2=0,∴p是q的充分不必要条件.(3)∵当x=1或x=2成立时,可得x-1=x-1成立,反过来,当x-1=x-1成立时,可以推出x=1或x=2,∴p既是q的充分条件也是q的必要条件.(4)由sinαsinβ不能推出αβ,反过来由αβ也不能推出sinαsinβ,∴p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.-4-充分条件、必要条件与集合的关系【例2】若“x21”是“xa”的必要不充分条件,求a的最大值.[解]∵x21,∴x-1或x1.又∵“x21”是“xa”的必要不充分条件,∴xa⇒x21但x21D⇒/xa.如图所示:∴a≤-1,∴a的最大值为-1.例2中“xa”改为“xa”,其他条件不变,求a的最小值.[解]∵x21,∴x-1或x1,∵“x21”是“xa”的必要不充分条件,∴xa⇒x21,但x21D/⇒xa.如图所示:∴a≥1,∴a的最小值为1.设集合A={x|x满足p},B={x|x满足q},则p⇒q可得A⊆B;q⇒p可得B⊆A;p⇔q可得A=B,若p是q的充分不必要条件,则A是B的真子集.充分条件和必要条件的应用【例3】(1)“x2=4”是“x=m”的必要条件,则m的一个值可以是()A.0B.2C.4D.16(2)已知p:-4x-a4,q:(x-2)(x-3)0,若q是p的充分条件,则a的取值范围为________.(1)B(2)[-1,6][(1)由“x=2”能得出“x2=4”,所以选项B正确.(2)化简p:a-4xa+4,q:2x3,由于q是p的充分条件,故有a-4≤2,a+4≥3,解得-1≤a≤6.]应用充分条件和必要条件的两个思路-5-1条件与结论:确定p和q谁是条件,谁是结论.2p⇒q和q⇒p的应用:充分条件确保p⇒q为真,必要条件确保q⇒p为真.2.已知p:3x+m0,q:x2-2x-30,若p是q的一个充分不必要条件,求m的取值范围.[解]由3x+m0得,x-m3.∴p:A=xx<-m3.由x2-2x-30得,x-1或x3.∴q:B={x|x-1或x3}.∵p⇒q而qp,∴A是B的真子集,∴-m3≤-1,∴m≥3,即m的取值范围是[3,+∞).1.充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法:直接利用定义进行判断.(2)等价法:“p⇔q”表示p等价于q,等价命题可以进行转换,当我们要证明p成立时,就可以去证明q成立.(3)利用集合间的包含关系进行判断:如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B,那么若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⊇B,则p是q的必要条件;若A=B,则p既是q的充分条件,也是q的必要条件.2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.1.“同位角相等”是“两直线平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既是充分条件,也是必要条件-6-D.既不充分也不必要条件[答案]C2.使x3成立的一个充分条件是()A.x4B.x0C.x2D.x2A[只有x4⇒x3,其他选项均不可推出x3.]3.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A[因为x≥2且y≥2⇒x2+y2≥4,x2+y2≥4x≥2且y≥2,如x=-2,y=1,所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件.]4.有下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中可以成为x2<1的一个充分条件的所有序号为________.②③④[由x2<1,得-1<x<1.故②③④都可作为x2<1的充分条件.]

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