2019-2020学年新教材高中数学 第2章 等式与不等式 2.2.1 不等式及其性质（第1课时）不

-1-第1课时不等关系与不等式学习目标核心素养1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)1.借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．2.通过大小比较，培养逻辑推理素养.1．不等关系不等关系常用不等式来表示．2．实数a，b的大小比较文字语言数学语言等价条件a－b是正数a－b＞0a＞ba－b等于零a－b＝0a＝ba－b是负数a－b＜0a＜b3.重要不等式一般地，∀a，b∈R，有(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为()A．T40B．T40C．T≤40D．T≥40C[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.]2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为()A．v≤120km/h且d≥10mB．v≤120km/h或d≥10mC．v≤120km/hD．d≥10mA[v的最大值为120km/h，即v≤120km/h，车间距d不得小于10m，即d≥10m，故-2-选A.]3．雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．4．5t28000[由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t28000.]4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________．M＞N[M－N＝a2＋a＋1＝a＋122＋34＞0，∴M＞N.]用不等式(组)表示不等关系【例1】京沪线上，复兴号列车跑出了350km/h的速度，这个速度的2倍再加上100km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．[解]设复兴号列车速度为v1，民航飞机速度为v2，普通客车速度为v3.v1，v2的关系：2v1＋100≤v2，v1，v3的关系：v1＞3v3.在用不等式组表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个或几个量之间不可用不等式组来表示.另外，在用不等式组表示实际问题时，一定要注意单位的统一.1．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式(组)表示其中的不等关系．[解]由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0x≤18，这时菜园的另一条边长为30－x2＝15－x2(m)．因此菜园面积S＝x·15－x2，依题意有S≥216，即x15－x2≥216，-3-故该题中的不等关系可用不等式组表示为0x≤18，x15－x2≥216.比较两数(式)的大小【例2】已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵x≤1，∴x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵3x2＋1＞0，当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.作差法比较两个实数大小的基本步骤2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．[解](2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1-4-＝x＋122＋34.∵x＋122≥0，∴x＋122＋34≥34＞0.∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.不等关系的实际应用【例3】某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解]设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋34x·(n－1)＝14x＋34xn，y2＝45nx.因为y1－y2＝14x＋34xn－45nx＝14x－120nx＝14x1－n5，当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？[解]设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1)a.y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a-5-＝0.2a(1.25－x)，当x＞1.25(x∈N)时，y甲＜y乙；当x＜1.25，即x＝1时，y甲＞y乙．因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠．1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a－b0⇔ab；a－b＝0⇔a＝b；a－b0⇔ab.2．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.1．思考辨析(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(2)若ab或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()(3)若ab，则acbc一定成立．()[提示](1)正确．不等式x≥2表示x2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式a≤b表示ab或a＝b.故若ab或a＝b中有一个正确，则a≤b一定正确．(3)错误．ac－bc＝(a－b)c，这与c的符号有关．[答案](1)√(2)√(3)×2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是()A．a－b＞0B．a－b＜0C．a－b≥0D．a－b≤0[答案]C3．若实数ab，则a2－ab________ba－b2.(填“”或“”)．[因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又ab，所以(a－b)20.]4．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系．[解]由题意知，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200.-6-