2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变形章末复习课学案 北师大版必修4

-1-第3章三角恒等变形三角恒等变形同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1sinαcosα＝tanαα≠kπ＋π2，k∈Z差角公式cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβsinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβtanα－β＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ和角公式cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβsinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβtanα＋β＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ倍角公式cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αsin2α＝2sinαcosαtan2α＝2tanα1－tan2α应用——三角函数式的求值、化简和证明，讨论三角函数的性质三角函数的求值问题【例1】已知tanα＋π4＝－12，且π2απ，求sin2α－2cos2αsinα－π4的值．[解]sin2α－2cos2αsinα－π4＝2cosαsinα－cosα22sinα－cosα＝22cosα.∵tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝－12，∴tanα＝－3，-2-∵α∈π2，π，∴cosα＝－1010，∴sin2α－2cos2αsinα－π4＝22cosα＝22×－1010＝－255.三角函数求值主要有三种类型，即：1“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式.2“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.3“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.1．已知0απ4，0βπ4，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，求α＋β的值．[解]∵3sinβ＝sin(2α＋β)，即3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，整理得2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα.即tan(α＋β)＝2tanα.又∵4tanα2＝1－tan2α2，∴tanα＝2tanα21－tan2α2＝12，tan(α＋β)＝2tanα＝2×12＝1.∵α＋β∈0，π2，∴α＋β＝π4.三角函数式的化简-3-【例2】化简2sin130°＋sin100°1＋3tan370°1＋cos10°.[解]原式＝2sin50°＋sin80°1＋3tan10°1＋cos10°＝2sin50°＋cos10°×cos10°＋3sin10°cos10°2cos25°＝2sin50°＋212cos10°＋32sin10°2|cos5°|＝2sin50°＋2sin30°＋10°2cos5°＝2[sin45°＋5°＋sin45°－5°]2cos5°＝2sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5°2cos5°＝4sin45°·cos5°2cos5°＝2.三角函数式的化简，主要有以下几类：①对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段.以实现三角函数式的化简.2．化简sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β.[解]原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(2cos2α－1)·(2cos2β－1)＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－12-4-＝sin2αsin2β＋cos2α(1－cos2β)＋cos2β－12＝sin2αsin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－12＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β－12＝sin2β＋cos2β－12＝1－12＝12.三角恒等变换【例3】求证：sin4x1＋cos4x·cos2x1＋cos2x·cosx1＋cosx＝tanx2.[证明]左边＝2sin2xcos2x2cos22x·cos2x2cos2x·cosx2cos2x2＝2sin2x·cos22x·cosx2cos22x·2cos2x·2cos2x2＝sin2x2cosx·2cos2x2＝2sinx·cosx2cosx·2cos2x2＝2sinx2cosx22cos2x2＝sinx2cosx2＝tanx2＝右边．∴等式成立．1．三角恒等式的证明，就是运用三角公式，通过适当的恒等变换，消除三角恒等式两端结构上的差异，这些差异有以下几个方面：(1)角的差异；(2)三角函数名称的差异；(3)三角函数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化．2．证明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右归一、恒等变形、分析法、综合法．3．三角恒等式的证明可分为两类：不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三角恒等式的证明．不附条件的三角恒等式的证明多用综合法、分析法、恒等变形等．附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地运用条件，或通过变形观察所给条件与要证等式之间的联系，找到问题的突破口，常用代入法或消元法证明．-5-3．已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin2β，求证：2tan2β＝tanα＋tanβ.[证明]因为tan(α－β)＝sin2β，tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ，sin2β＝2tanβ1＋tan2β，所以tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝2tanβ1＋tan2β.去分母整理得tanα＝3tanβ＋tan3β1－tan2β，所以tanα＋tanβ＝3tanβ＋tan3β＋tanβ－tan3β1－tan2β＝2tan2β.三角函数与平面向量的综合应用【例4】已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．[思路探究]本题主要考查向量的数量积的坐标运算、向量的模及两角和与差的三角函数．(1)按向量数量积与向量加法运算结合三角函数知识求解、化简；(2)化简f(x)，并参照x∈－π3，π4，求出最大值和最小值．[解](1)a·b＝cos3x2cosx2－sin3x2sinx2＝cos2x，|a＋b|＝cos3x2＋cosx22＋sin3x2－sinx22＝2＋2cos2x＝2|cosx|.∵x∈－π3，π4，∴cosx0，即|a＋b|＝2cosx.(2)∵f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝2cosx－122－32，且x∈－π3，π4，∴12≤cosx≤1.-6-∴当cosx＝12时，f(x)取得最小值－32；当cosx＝1时，f(x)取得最大值为－1.三角函数与平面向量相结合是近几年来高考的亮点，它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图像与性质，以及三角函数的化简、求值.4．已知向量m＝(cosθ，sinθ)和n＝(2－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝825，求cosθ2＋π8的值．[解]m＋n＝(cosθ－sinθ＋2，cosθ＋sinθ)，|m＋n|＝cosθ－sinθ＋22＋cosθ＋sinθ2＝4＋22cosθ－sinθ＝4＋4cosθ＋π4＝21＋cosθ＋π4.由已知|m＋n|＝825，得cosθ＋π4＝725.又cosθ＋π4＝2cos2θ2＋π8－1，所以cos2θ2＋π8＝1625.∵πθ2π，∴5π8θ2＋π89π8.∴cosθ2＋π80.∴cosθ2＋π8＝－45.三角恒等变换的综合应用[探究问题]1．三角恒等变换的基本方向是什么？[提示]基本方向是变角、变函数、变结构．2．三角恒等变换的基本技巧是什么？-7-[提示]基本技巧是弦切互化，异名化同名，异角化同角(角分析法)；升幂或降幂，分式通分，无理化有理，常数的处理(如1的代换)；变量集中(引进辅助角)．如acosθ＋bsinθ＝a2＋b2sin(θ＋φ)(φ为辅助角)．3．三角恒等变换的基本目标是什么？[提示]基本目标是复角化单角，异名化同名，转换运算形式试着相约或相消，达到项数尽量少，种类(名称)尽量少，次数尽量低，分母中尽量不含三角函数；尽可能不带根号，能求出值的求出值来，绝对值要讨论．【例5】已知向量a＝(2sinx，cosx)，b＝(3cosx，2cosx)，定义函数f(x)＝a·b－1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)画出函数g(x)＝f(x)，x∈－7π12，5π12的图像，由图像写出g(x)的对称轴和对称中心．[思路探究]本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、三角公式及三角函数图像和性质，化简函数式为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后求解．[解]f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.(1)T＝2π2＝π.(2)2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2⇔kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)，∴函数f(x)的单调递减区间为kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．(3)函数g(x)＝f(x)，x∈－7π12，5π12的图像如图所示：从图像上可以直观看出，此函数没有对称轴，有一个对称中心，对称中心为－π12，0.1．将例5的条件变为“已知f(x)＝sin2x＋π6＋sin2x－π6＋2cos2x”，试求f(x)≥2-8-的x的取值范围．[解]∵f(x)＝sin2x＋π6＋sin2x－π6＋2cos2x＝sin2xcosπ6＋cos2xsinπ6＋sin2xcosπ6－cos2x·sinπ6＋cos2x＋1＝3sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π6＋1，∵f(x)≥2，∴2sin2x＋π6＋1≥2，∴sin2x＋π6≥12，∴2kπ＋π6≤2x＋π6≤2kπ＋5π6(k∈Z)，∴kπ≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，∴f(x)≥2的x的取值范围是xkπ≤x≤kπ＋π3，k∈Z.2．将例5中的条件变为“f(x)＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x”，试求该函数在[0，π]上的单调增区间．[解]f(x)＝sin4x＋23sinxcosx－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋23sinxcosx＝sin2x－cos2x＋23sinxcosx＝－cos2x＋3sin2x＝2－12cos2x＋32sin2x＝2sin2x－π6.∵f