2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数 3.2 函数与方程、不等式之间的关系（第1课时）

-1-第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系学习目标核心素养1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．(难点)2．会求函数的零点．(重点)3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集．(重点、难点)1.借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养．2．通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，提升逻辑推理的素养．3．利用零点法求不等式的解集，培养数学运算的素养.1．函数的零点(1)函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称实数α为函数y＝f(x)的零点．(2)三者之间的关系：函数f(x)的零点⇔函数f(x)的图像与x轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根．2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系(1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点．(2)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．3．图像法解一元二次不等式的步骤(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程；(2)求出其对应的二次函数的零点；(3)画出二次函数的图像；(4)结合图像写出一元二次不等式的解集．1．函数y＝1＋1x的零点是()A．(－1,0)B．x＝－1C．x＝1D．x＝0-2-B[令1＋1x＝0解得x＝－1，故选B.]2．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是()x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋212345A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)C[令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－10，f(0)＝1－20，f(1)＝2.72－30，f(2)＝7.40－4＝3.400.由于f(1)·f(2)0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．]3．若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是()A．m＜－2或m＞2B．－2＜m＜2C．m≠±2D．1＜m＜3A[∵f(x)＝－x2＋mx－1有正值，∴Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.]4．不等式1＋x1－x≥0的解集为________．[－1,1)[原不等式等价于(x＋1)(x－1)≤0，且x－1≠0，∴－1≤x＜1.]函数的零点及求法【例1】求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．[解]令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，∴(x3－x)－(6x－6)＝0，∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)·(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.求函数y＝fx的零点通常有两种方法：一是令y＝0，根据解方程fx＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝fx的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.-3-1．如图所示是一个二次函数y＝f(x)的图像．(1)写出这个二次函数的零点；(2)试比较f(－4)·f(－1)，f(0)·f(2)与0的大小关系．[解](1)由图像可知，函数f(x)的两个零点分别是－3,1.(2)根据图像可知，f(－4)·f(－1)＜0，f(0)·f(2)＜0.二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系【例2】利用函数求下列不等式的解集：(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)．[解](1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(6，＋∞)．(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图像知，原不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．(3)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2，即9x2－12x＋4＞0.解方程9x2－12x＋4＝0，解得x1＝x2＝23.结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知，原不等式的解集为－∞，23∪23，＋∞.利用函数求不等式解集的基本步骤1把一元二次不等式化成一般形式，并把a的符号化为正；-4-2计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ；3求其对应一元二次方程的根；4写出解集大于取两边，小于取中间.2．利用函数求下列不等式的解集：(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)－x2＋8x－3＞0；(3)x2－4x－5＜0；(4)－4x2＋18x－814＞0.[解](1)对于方程2x2＋7x＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不相等的实数根，x1＝－3，x2＝－12.又因为二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪－12，＋∞.(2)对于方程－x2＋8x－3＝0，因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实数根，x1＝4－13，x2＝4＋13.又因为二次函数y＝－x2＋8x－3的图像开口向下，所以原不等式的解集为(4－13，4＋13)．(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)＜0，所以原不等式的解集为(－1,5)．(4)原不等式可化为2x－922＜0，所以原不等式的解集为∅.用函数零点法求一元高次不等式的解集【例3】求函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x＋3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．[解]函数的零点为－3,1,2.函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．x(－∞，－3)(－3,1)(1,2)(2，＋∞)f(x)－＋－＋-5-由此可以画出此函数的示意图如图．由图可知，f(x)≥0的解集为[－3,1]∪[2，＋∞)，f(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(1,2)．解题步骤：1求出零点；2拆分定义域；3判断符号；4写出解集.注意判断符号的方法，将最高项的系数化为正数，最右边的区间内为正，然后往左依次负正相间.3．求函数f(x)＝(1－x)(x－2)(x＋2)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．[解]函数的零点为－2,1,2.函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．x(－∞，－2)(－2,1)(1,2)(2，＋∞)f(x)＋－＋－由此可以画出此函数的示意图如图．由图可知，f(x)≥0的解集为(－∞，－2]∪[1,2]，f(x)＜0的解集为(－2,1)∪(2，＋∞)．1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标．2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系(1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点．(2)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．3．图像法解一元二次不等式的步骤(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程；(2)求出其对应的二次函数的零点；-6-(3)画出二次函数的图像；(4)结合图像写出一元二次不等式的解集．1．下列图像表示的函数中没有零点的是()A[B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．]2．方程5x2－7x－1＝0的根所在的区间是()A．(－1,0)B．(1,2)C．一个根在(－1,0)上，另一个根在(1,2)上D．一个根在(0,1)上，另一个根在(－2，－1)上C[∵f(－1)·f(0)＜0,f(1)·f(2)＜0，∴选C.]3．函数f(x)＝x－1x零点的个数是()A．0B．1C．2D．3C[令x－1x＝0，即x2－1＝0，∴x＝±1.∴f(x)＝x－1x的零点有两个.]4．函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．4[f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)．可知零点为±1，－2,3，共4个．]