2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数 3.2 函数与方程、不等式之间的关系（第2课时）

-1-第2课时零点的存在性及其近似值的求法学习目标核心素养1.掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数.(重点)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函数零点近似解的步骤．(难点)3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．(重点、难点)1.通过存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养．2．通过二分法的学习，提升数据分析，数学建模的学科素养．3．理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养.1．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间[a，b]中至少有一个零点，即∃x0∈[a，b]，f(x0)＝0.2．二分法的定义(1)二分法的条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0.(2)二分法的过程：通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．3．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)在[a，b]上的零点近似值的步骤是：第一步检查|b－a|＜2ε是否成立，如果成立，取x1＝a＋b2，计算结束；如果不成立，转到第二步．第二步计算区间[a，b]的中点a＋b2对应的函数值，若fa＋b2＝0，取x1＝a＋b2，计算结束；若fa＋b2≠0，转到第三步．-2-第三步若f(a)fa＋b2＜0，将a＋b2的值赋给b用a＋b2→b表示，下同，回到第一步；若fa＋b2f(b)＜0，将a＋b2的值赋给a，回到第一步．1．下列函数不宜用二分法求零点的是()A．f(x)＝x3－1B．f(x)＝lnx＋3C．f(x)＝x2＋22x＋2D．f(x)＝－x2＋4x－1C[因为f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．]2．若函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是()A．函数f(x)在区间[a，b]上不可能有零点B．函数f(x)在区间[a，b]上一定有零点C．若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则必有f(a)·f(b)＜0D．若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0D[函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，如果f(a)·f(b)＜0，可知函数在(a，b)上有一个零点，如果f(a)·f(b)＞0，可知函数在[a，b]上没有零点，所以函数f(x)在区间[a，b]上可能没有零点，也可能有零点，所以A不正确；函数f(x)在区间[a，b]上可能有零点，也可能没有零点；所以B不正确；若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则可能f(a)·f(b)＜0，也可能f(a)·f(b)＝0所以C不正确；若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0，正确；故选D.]3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关B[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]4．若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)0，f(1)·f(2)·f(4)0，则下列命题正确的是________．①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；-3-③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．④[∵f(0)0，而由f(1)·f(2)·f(4)0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0.∴(0,4)上有零点．]判断函数零点所在的区间【例1】求证：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．[证明]设f(x)＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．因为f(－1)＝3＞0，f(0)＝－2＜0，f(2)＝6＞0，所以方程在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C[对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．]对二分法概念的理解【例2】下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()-4-B[利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．]二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性.对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可.2．如图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)的零点近似值的是()A．(－2.1，－1)B．(1.9,2.3)C．(4.1,5)D．(5,6.1)B[只有B中的区间所含零点是不变号零点．]用二分法求函数零点【例3】求函数f(x)＝x2－5的负零点．(精确度为0.1)[解]由于f(－2)＝－10，f(－3)＝40，故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值(－3，－2)－2.51.25(－2.5，－2)－2.250.0625(－2.25，－2)－2.125－0.4844(－2.25，－2.125)－2.1875－0.2148(－2.25，－2.1875)－2.21875－0.0771由于|－2.25－(－2.1875)|＝0.06250.1，所以函数的一个近似负零点可取－2.25.-5-利用二分法求函数零点应关注三点1要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.2用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间.3根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算.3．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为0.1)．[解]由于f(1)＝－10，f(2)＝40，又函数f(x)在[1,2]内是增函数，所以函数在区间[1,2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1,2]．下面用二分法求解．(a，b)(a，b)的中点f(a)f(b)fa＋b2(1,2)1.5f(1)0f(2)0f(1.5)0(1,1.5)1.25f(1)0f(1.5)0f(1.25)0(1,1.25)1.125f(1)0f(1.25)0f(1.125)0(1.125,1.25)1.1875f(1.125)0f(1.25)0f(1.1875)0因为|1.1875－1.25|＝0.06250.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.用二分法求方程的近似解【例4】用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)．[解]令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－30，f(1)＝20，f(0)·f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，又f(1)0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)fa＋b2(0,1)0.5f(0)0f(1)0f(0.5)0-6-(0.5,1)0.75f(0.5)0f(1)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.75)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.6875f(0.625)0f(0.75)0f(0.6875)0(0.6875,0.75)|0.6875－0.75|＝0.06250.1由于|0.6875－0.75|＝0.06250.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．4.求方程x2＝2x＋1的一个近似解．(精确度0.1)[解]设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－10，f(3)＝20.∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.250，∴2x02.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.43750，∴2.25x02.5；如此继续下去，有f(2.375)0，f(2.5)0⇒x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)0，f(2.4375)0⇒x0∈(2.375,2.4375)．∵|2.375－2.4375|＝0.06250.1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间[a，b]上连续不断；-7-(2)f(a)·f(b)0，上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3,5]上()A．没有零点B．有一个零点C．有两个零点D．有无数个零点B[令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3,5]上有一个零点．]2.用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值(精确到0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，关于下一步的说法正确的是()A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.4375)D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.3125)C[由由二分法知，方程x3＋x2－2x－2＝0的根在区间(1.375,1.5)，没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.4375)．故选C.]3．函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()[答案]B4.用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当|an－bn|＜ε时，函数的近似零点an＋bn2与真正零点的误差不超过A．εB.12εC．2εD.14εB[根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当|an－bn|＜ε时，区间[an，bn]的中点xn＝12(an＋bn)就是函数的近似零点，