搜索
-1-第2课时集合的表示学习目标核心素养1．初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)1．通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养．2．借助描述法转化为列举法时的运算培养数学运算的素养.1．列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．一般形式为A＝{x∈I|p}，其中x叫做代表元素，I是代表元素x的取值范围，p是各元素的共同特征．思考：(1)不等式x－23的解集中的元素有什么共同特征？(2)如何用描述法表示不等式x－23的解集？[提示](1)元素的共同特征为x∈R，且x5.(2){x|x5，x∈R}．1．方程x2＝4的解集用列举法表示为()A．{(－2，2)}B．{－2，2}C．{－2}D．{2}B[由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2，2}．]2．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是()A．{x|y＝3x＋1}B．{y|y＝3x＋1}C．{(x，y)|y＝3x＋1}D．{y＝3x＋1}C[该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，选C.]3．不等式4x－57的解集为________．{x|x3}[用描述法可表示为{x|x3}．]用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列给定的集合：-2-(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.[解](1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}．(2)小于8的质数有2，3，5，7，所以B＝{2，3，5，7}．(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，32.所以C＝－1，32.(4)由y＝x＋3，y＝－2x＋6，得x＝1，y＝4.所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}．用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来．提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}．1．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；(3)方程组2x＋y＝8，x－y＝1的解组成的集合B；(4)15的正约数组成的集合N.[解](1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1，0，1，2，故A＝{－2，－1，0，1，2}．(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解为x＝2或x＝3，∴M＝{2，3}．(3)解2x＋y＝8x－y＝1，得x＝3y＝2，∴B＝{(3，2)}．-3-(4)15的正约数有1，3，5，15，故N＝{1，3，5，15}．用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的实数的集合；(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．[解](1){x∈R|1x10}．(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x0，且y0}．(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．描述法表示集合的2个步骤2.用描述法表示下列集合：(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；(2)不等式2x－35的解组成的集合；(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．[解](1)函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．(2)不等式2x－35的解组成的集合可表示为{x|2x－35}，即{x|x4}．(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为（x，y）0≤x≤32，0≤y≤1.(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．集合表示方法的综合应用[探究问题]下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们各自的含义是什么？-4-(2)它们是不是相同的集合？提示：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．【例3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．思路点拨：A中只有一个元素――→等价转化方程kx2－8x＋16＝0只有一解――→分类讨论求实数k的值[解](1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}．1．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”其他条件不变，求实数k的值组成的集合．[解]由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根．故k≠0，Δ＝64－64k0，即k1且k≠0.所以实数k组成的集合为{k|k1且k≠0}．2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围．[解]由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，合题意；②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1.综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3-5-中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．1．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个多用描述法．2．处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么.1．思考辨析(1){1}＝1.()(2){(1，2)}＝{x＝1，y＝2}．()(3){x∈R|x1}＝{y∈R|y1}．()(4){x|x2＝1}＝{－1，1}．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是()A．{x|－3x11，x∈Z}B．{x|－3x11}C．{x|－3x11，x＝2k}D．{x|－3x11，x＝2k，k∈Z}D[由题意可知，满足题设条件的只有选项D，故选D.]3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是()A．{1，－2}B．{x＝1，y＝－2}C．{(－2，1)}D．{(1，－2)}D[由y＝x－3y＝－2x得x＝1y＝－2，∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．]4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，试用列举法表示集合A.[解]∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．-6-