2019-2020学年高中数学 第1章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值（第2课时）

-1-第2课时函数的最大(小)值学习目标核心素养1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点)2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点)3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点)4．通过本节内容的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力．(重点、难点)1．借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养．2．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？[提示]不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．1．函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．－1，0B．0，2C．－1，2D．12，2-2-C[由图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.]2．设函数f(x)＝2x－1(x0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．既有最大值又有最小值D．既无最大值又无最小值D[∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)f(0)＝－1，故选D.]3．函数f(x)＝1x，x∈[1，2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．112[∵f(x)＝1x在区间[1，2]上为减函数，∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即12≤f(x)≤1.]利用函数的图象求函数的最值(值域)【例1】已知函数f(x)＝3－x2，x∈[－1，2]，x－3，x∈（2，5].(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．[解](1)图象如图所示：(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(2，5)，单调递减区间为(0，2)，值域为[－1，3]．利用图象求函数最值的方法(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点；(3)写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．1.已知函数f(x)＝x2，－1≤x≤1，1x，x1，求f(x)的最大值、最小值．-3-[解]作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.利用函数的单调性求最值(值域)【例2】已知函数f(x)＝2x＋1x＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．[解](1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1x1x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1＋1x1＋1－2x2＋1x2＋1＝x1－x2（x1＋1）（x2＋1），因为－1x1x2⇒x1＋10，x2＋10，x1－x20，所以f(x1)－f(x2)0⇒f(x1)f(x2)，所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f(4)＝2×4＋14＋1＝95.1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．-4-2．求函数f(x)＝x＋4x在[1，4]上的最值．[解]设1≤x1x22，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝x1－x2＋4（x2－x1）x1x2＝(x1－x2)·1－4x1x2＝(x1－x2)x1x2－4x1x2＝（x1－x2）（x1x2－4）x1x2.∵1≤x1x22，∴x1－x20，x1x2－40，x1x20，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在[1，2)上是减函数．同理f(x)在[2，4]上是增函数．∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.函数最值的实际应用【例3】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解](1)当0x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝－x2＋32x－100，0x≤20，160－x，x20(x∈N*)．(2)当0x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x20时，160－x140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系．(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式．(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)．(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案．3.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1-5-元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？[解]设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1000－10x)个，则y＝(x－40)(1000－10x)＝－10(x－70)2＋9000≤9000.故当x＝70时，ymax＝9000.即售价为70元时，利润最大值为9000元．二次函数的最值问题[探究问题]1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系，试画草图给予说明？提示：2．求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？提示：若求二次函数f(x)在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝－b2a与区间[m，n]的关系．【例4】已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0，1]上的最大值．思路点拨：f（x）＝x2－ax＋1――――→分类讨论分析x＝a2与[0，1]的关系――――→数形结合求f（x）的最大值[解]因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝a2，当a2≤12，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；当a212，即a1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.1．在题设条件不变的情况下，求f(x)在[0，1]上的最小值．[解](1)当a2≤0，即a≤0时，f(x)在[0，1]上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝1.(2)当a2≥1，即a≥2时，f(x)在[0，1]上单调递减，-6-∴f(x)min＝f(1)＝2－a.(3)当0a21，即0a2时，f(x)在0，a2上单调递减，在a2，1上单调递增，故f(x)min＝fa2＝1－a24.2．在本例条件不变的情况下，若a＝1，求f(x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．[解]当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为x＝12，①当t≥12时，f(x)在其上是增函数，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；②当t＋1≤12，即t≤－12时，f(x)在其上是减函数，∴f(x)min＝f(t＋1)＝t＋122＋34＝t2＋t＋1；③当t12t＋1，即－12t12时，函数f(x)在t，12上单调递减，在12，t＋1上单调递增，所以f(x)min＝f12＝34.1．函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．2．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：(1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．3．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．1.思考辨析(1)任何函数都有最大(小)值．()(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．()(3)函数的最大值一定比最小值大．()[答案](1)×(2)×(3)√2．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为()A．[0，3]B．[－1，0]-7-C．[－1，＋∞)D．[－1，3]D[∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]，故选D.]3．函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝______．1[若a0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a0，舍去；若a0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1.]4．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2，6])．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值．[解](1)函数f(x)在x∈[2，6]上是减函数．证明：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2[（x2－1）－（x1－1）]（x1－1）（x2－1）＝2（x2－x1）（x1－1）（x2－1）.由2≤x1x2≤6，得x2－x10，(x1－1)(x2－1)0，于是f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)＝2x－1是区间[2，6]上的减函数．(2)由(1)可知，函数f(x)＝2x－1在区间[2，6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是25.